Função L de Dirichlet

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet

Em matemática, uma série L de Dirichlet, nomeada em honra de Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, é uma função da forma

L ( s , χ ) = ∑ n = 1 ∞ χ ( n ) n s . {\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.}

Aqui χ é um caráter de Dirichlet e s uma variável complexa com parte real maior que 1. Por extensão analítica, esta função pode ser estendida à função meromorfa sobre a totalidade do plano complexo, e é então chamada uma função L de Dirichlet e também notada L(s,χ). Foi provado por Dirichlet que L(1,χ)≠0 par todos os caráteres de Dirichlet χ, permitindo-lhe estabelecer seu teorema sobre primos em progressões aritméticas. Além disso, se χ é principal, então a função L de Dirichlet correspondente tem um polo simples em s=1.

Zeros das funções L de Dirichlet

Se χ é um caráter primitivo com χ(−1) = 1, então os únicos zeros de L(s,χ) com Re(s) < 0 são os inteiros negativos par. Se χ é um caráter primitivo com χ(−1) = −1, então os únicos zeros de L(s,χ) com Re(s) < 0 são os inteiros negativos ímpar. Até a possível existência de um zero de Siegel, regiões livres de zeros incluindo e além da linha Re(s) = 1 similar àquela da função zeta de Riemann são conhecidas como exsitentes para todas as funções L de Dirichlet. Assim como a função zeta de Riemann é conjecturada obedecendo a hipótese de Riemann, assim como as funções L de Dirichlet são conjecturadas como obedecendo a hipótese generalizada de Riemann.

Equação funcional

Assumamos que χ é um caráter primitivo ao módulo k. Definindo

Λ ( s , χ ) = ( π k ) − ( s + a ) / 2 Γ ( s + a 2 ) L ( s , χ ) , {\displaystyle \Lambda (s,\chi )=\left({\frac {\pi }{k}}\right)^{-(s+a)/2}\Gamma \left({\frac {s+a}{2}}\right)L(s,\chi ),}

onde Γ nota a função gama e o símbolo a é dado por

a = { 0 ; if  χ ( − 1 ) = 1 , 1 ; if  χ ( − 1 ) = − 1 , {\displaystyle a={\begin{cases}0;&{\mbox{if }}\chi (-1)=1,\\1;&{\mbox{if }}\chi (-1)=-1,\end{cases}}}

tem-se a equação funcional

Λ ( 1 − s , χ ¯ ) = i a k 1 / 2 τ ( χ ) Λ ( s , χ ) . {\displaystyle \Lambda (1-s,{\overline {\chi }})={\frac {i^{a}k^{1/2}}{\tau (\chi )}}\Lambda (s,\chi ).}

Aqui nós escrevemos τ(χ) para a soma de Gauss

∑ n = 1 k χ ( n ) exp ⁡ ( 2 π i n / k ) . {\displaystyle \sum _{n=1}^{k}\chi (n)\exp(2\pi in/k).}

Note-se que |τ(χ)|=k1/2.

Relação com a função zeta de Hurwitz

As funções L de Dirichlet podem ser escritas como uma combinação linear da função zeta de Hurwitz em valores racionais. Fixando um inteiro k ≥ 1, as funções L de Dirichlet para caráteres de módulo k são combinações lineares, com coeficientes constantes, de ζ(s,q) onde q = m/k e m = 1, 2, ..., k. Isto significa que a função zeta de Hurwitz para q racional tem propriedades analíticas que são intimamente relacionadas às funções L de Dirichlet. Especificamente, fazendo χ {\displaystyle \chi } ser um caráter de módulo k. Então podemos escrever sua função L de Dirichlet como

L ( s , χ ) = ∑ n = 1 ∞ χ ( n ) n s = 1 k s ∑ m = 1 k χ ( m ) ζ ( s , m k ) . {\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{m=1}^{k}\chi (m)\;\zeta \left(s,{\frac {m}{k}}\right).}

Em particular, a função L de Dirichlet do trivial caráter de módulo 1 resulta a função zeta de Riemann:

ζ ( s ) = 1 k s ∑ m = 1 k ζ ( s , m k ) . {\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{m=1}^{k}\zeta \left(s,{\frac {m}{k}}\right).}

Referências

  • H. Davenport (2000). Multiplicative Number Theory. Springer. ISBN 0-387-95097-4.
  • Dirichlet, P. G. L. (1837), "Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält", Abhand. Ak. Wiss. Berlin 48
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