Função harmônica

Para função harmônica em música, veja funcionalidade diatônica

Função harmônica, estritamente em Matemática, é qualquer solução não trivial da equação de Laplace, cujas derivadas primeira e segunda são contínuas. Aplica-se em vários sub-domínios da própria matemática, além de encontrar imensa e rica utilidade na física matemática, na física, em análise de processos estocásticos, entre várias aplicações.

Definição formal

Função harmônica, em Matemática, em Física, em Física matemática e em Processos estocásticos, é uma função contínua e duplamente diferenciável f : U → R (onde U é um subconjunto aberto de Rⁿ) que satisfaz a equação de Laplace, e pode ser assim expressa:

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}=0

em todo lugar em U. Isso é também frequentemente escrito como

\nabla ^{2}f=0

\Delta f=0.

onde:

\nabla ^{2}

é o operador laplaciano e

\Delta

é o operator Laplace-de Rham

Alternativamente, função harmônica pode ser definida de outros modos:

Função harmônica, em Matemática, também pode ser entendida como qualquer solução não trivial da equação de Laplace, cujas derivadas primeira e segunda são contínuas.
Há também uma outra definição aparentemente mais frágil, contudo equivalente. Realmente, uma função é dita harmônica se e somente se é fracamente harmônica — e a aparente fragilidade conceitual decorre apenas da recorrência.

Funções harmônicas podem ser definidas num espaço riemanniano múltiplo, por meio do uso do operator Laplace-de Rham, $\Delta .$

Nesse contexto, uma função é dita harmônica se $\Delta f=0.$

Uma $C^{2}$ função que satisfaz $\Delta f\geq 0$ é dita subarmônica.

Propriedades

Fórmula do Valor Médio

Seja $f\in C^{2}(U;\mathbb {R} )$ uma função harmônica, $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ aberto. Então, para cada $x\in U$ , temos:

$f(x)={\frac {1}{n\alpha (n)r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}fdS,\quad \forall B(x,r)\subset U$

onde, $\alpha (n)$ é o volume da bola unitária em $\mathbb {R} ^{n}$ , $B(x,r)$ é a bola de centro em $x$ e raio $r$ e $\partial B(x,r)$ denota sua fronteira (a esfera de centro $x$ e raio $r$ ). Isto é, se $f$ é harmônica, então $f(x)$ é igual a sua média sobre qualquer esfera de centro $x$ e raio $r$ contida no seu domínio (veja, por exemplo, Evans (2010)^[1]).

Demonstração.
Com efeito, seja $\phi (r)={\frac {1}{n\alpha (n)r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}fdS$ . Fazendo a mudança de variável $y=x+rz,z\in \mathbb {R} ^{n}$ , temos $\phi (r)={\frac {1}{n\alpha (n)}}\int _{\partial B(0,1)}f(x+rz)dS(z)$ . Agora, calculando a derivada de $\phi$ em relação a $r$ , obtemos: $\phi '(r)={\frac {1}{n\alpha (n)}}\int _{\partial B(0,1)}Df(x+rz)\cdot zdS(z)$ que, voltando a $y$ nos dá: $\phi '(r)={\frac {1}{n\alpha (n)r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}Df(y){\frac {y-x}{r}}dS(y)={\frac {1}{n\alpha (n)r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}{\frac {\partial f}{\partial \nu }}dS$ observando que $\nu ={\frac {y-x}{r}}$ é a normal unitária exterior para cada $y\in \partial B(x,r)$ . Aqui, ${\frac {\partial f}{\partial \nu }}$ denota a derivada normal de $f$ . Daí, das identidades de Green, temos que: $\phi '(r)={\frac {1}{n\alpha (n)r^{n-1}}}\int _{B(x,r)}\Delta fdy=0$ pois, $f$ é harmônica por hipótese. Mostramos, assim, que $\phi '(r)=0$ para todo $r$ , logo $\phi$ é uma função constante e, portanto: $\phi (r)=\lim _{t\to 0}\phi (t)=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{n\alpha (n)r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}fdS=f(x)$ este último passo sendo uma propriedade da média de uma função. Temos, assim, demonstrado o que queríamos.

Demonstração.

Com efeito, seja

$\phi (r)={\frac {1}{n\alpha (n)r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}fdS$ .

Fazendo a mudança de variável $y=x+rz,z\in \mathbb {R} ^{n}$ , temos

$\phi (r)={\frac {1}{n\alpha (n)}}\int _{\partial B(0,1)}f(x+rz)dS(z)$ .

Agora, calculando a derivada de $\phi$ em relação a $r$ , obtemos:

$\phi '(r)={\frac {1}{n\alpha (n)}}\int _{\partial B(0,1)}Df(x+rz)\cdot zdS(z)$

que, voltando a $y$ nos dá:

$\phi '(r)={\frac {1}{n\alpha (n)r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}Df(y){\frac {y-x}{r}}dS(y)={\frac {1}{n\alpha (n)r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}{\frac {\partial f}{\partial \nu }}dS$

observando que $\nu ={\frac {y-x}{r}}$ é a normal unitária exterior para cada $y\in \partial B(x,r)$ . Aqui, ${\frac {\partial f}{\partial \nu }}$ denota a derivada normal de $f$ .

Daí, das identidades de Green, temos que:

$\phi '(r)={\frac {1}{n\alpha (n)r^{n-1}}}\int _{B(x,r)}\Delta fdy=0$

pois, $f$ é harmônica por hipótese. Mostramos, assim, que $\phi '(r)=0$ para todo $r$ , logo $\phi$ é uma função constante e, portanto:

$\phi (r)=\lim _{t\to 0}\phi (t)=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{n\alpha (n)r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}fdS=f(x)$

este último passo sendo uma propriedade da média de uma função. Temos, assim, demonstrado o que queríamos.

Como consequência do resultado acima, podemos demonstrar que:

$f(x)={\frac {1}{\alpha (n)r^{n}}}\int _{B(x,r)}fdy,\quad B(x,r)\subset U$

isto é: se $f$ é harmônica, então $f(x)$ é igual a média de $f$ sobre qualquer bola de centro $x$ e raio $r$ contida em seu domínio.

Demonstração.
Com efeito: $\int _{B(x,r)}fdy=\int _{0}^{r}\left(\int _{\partial B(x,r)}fdS\right)ds=f(x)\int _{0}^{r}n\alpha (n)s^{n-1}ds=\alpha (n)r^{n}f(x)$ . o que demonstra o enunciado.

Demonstração.

Com efeito:

$\int _{B(x,r)}fdy=\int _{0}^{r}\left(\int _{\partial B(x,r)}fdS\right)ds=f(x)\int _{0}^{r}n\alpha (n)s^{n-1}ds=\alpha (n)r^{n}f(x)$ .

o que demonstra o enunciado.

Esse resultado também tem uma recíproca. Se $f\in C^{2}(U,\mathbb {R} )$ é tal que

$f(x)={\frac {1}{n\alpha (n)r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}fdS,\quad \forall B(x,r)\subset U$

então, $f$ é harmônica. Em outras palavras, uma função $f$ duas vezes continuamente diferenciável cuja média sobre cada esfera contida em seu domínio é igual a função aplicada no centro da mesma é uma função harmônica.

Demonstração.
Assumimos, sem perda de generalidade, que $\Delta f>0$ em alguma bola $B(x,r)\subset U.$ Definindo $\phi (r)={\frac {1}{n\alpha (n)r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}fdS$ temos que $\phi$ é constante em relação a $r$ , logo $\phi '(r)=0.$ Por outro lado: $\phi '(r)={\frac {1}{n\alpha (n)r^{n-1}}}\int _{B(x,r)}\Delta fdy>0$ o que é uma contradição.

Demonstração.

Assumimos, sem perda de generalidade, que $\Delta f>0$ em alguma bola $B(x,r)\subset U.$ Definindo

$\phi (r)={\frac {1}{n\alpha (n)r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}fdS$

temos que $\phi$ é constante em relação a $r$ , logo $\phi '(r)=0.$ Por outro lado:

$\phi '(r)={\frac {1}{n\alpha (n)r^{n-1}}}\int _{B(x,r)}\Delta fdy>0$

o que é uma contradição.

Princípio do Máximo

Uma função harmônica atinge seu máximo (mínimo) na fronteira. Mais precisamente, se $f:U\to \mathbb {R}$ é uma função harmônica com $f\in C^{2}(U)\cap C({\bar {U}})$ , então $\max _{\bar {U}}f=\max _{\partial U}f$ , bem como $\min _{\bar {U}}f=\min _{\partial U}f$ . Aqui, $U$ é um conjunto aberto, ${\bar {U}}$ é o fecho de $U$ .

Esta propriedade é consequência do princípio do máximo forte^[1], o qual estabelece que se, além das hipóteses acima, $U$ for conexo e existir $x_{0}\in U$ tal que $f(x_{0})=\max _{\bar {U}}f$ $\left({\text{ou }}f(x_{0})=\min _{\bar {U}}f\right)$ , então $f$ é constante em $U$ . Esta propriedade é, por sua vez, consequência direta da fórmula do valor médio (veja acima).