O seno, cosseno e tangente hiperbólicos. Na matemática , funções hiperbólicas são funções análogas às funções trigonométricas ordinárias, estas também conhecidas como funções circulares. Funções hiperbólicas foram introduzidas por volta de 1760 de maneira independente pelos matemáticos Vincenzo Riccati e Johann Heinrich Lambert[ 1] . As funções hiperbólicas básicas são o seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico , dos quais são derivados a tangente hiperbólica , a cossecante hiperbólica ou a secante hiperbólica e a cotangente hiperbólica , análogas às funções trigonométricas derivadas . Em alguns casos, suas inversas também são consideradas funções hiperbólicas.
A cossecante, a secante e a cotangente hiperbólicas. Essa classe de funções recebe esse nome porque, em muitos casos nos quais o uso de funções trigonométricas gera círculos ou elipses, o uso de funções hiperbólicas gera hipérboles , como, por exemplo, no caso das equações paramétricas :
x = cos t {\displaystyle x=\cos t\,} y = sin t {\displaystyle y=\sin t\,} Estas geram um círculo, enquanto que as equações:
x = cosh t {\displaystyle x=\cosh t\,} y = sinh t {\displaystyle y=\sinh t\,} geram (uma metade de) uma hipérbole .
Funções hiperbólicas aparecem nas soluções de várias equações diferenciais lineares, nas soluções de algumas equações cúbicas , em cálculos de ângulos e distâncias na geometria hiperbólica e em cálculos da Equação de Laplace em coordenadas cartesianas . Equações de Laplace são importantes em diversas áreas da física , incluindo eletromagnetismo , transferência de calor , hidrodinâmica e relatividade restrita .
Na análise complexa , as funções hiperbólicas surgem como as partes imaginárias das funções trigonométricas seno e cosseno . Quando são consideradas como definidas por uma variável complexa, as funções hiperbólicas são funções racionais de exponenciais e, portanto, holomórficas .
Expressões padrão das funções hiperbólicas As expressões das funções hiperbólicas são as seguintes:
sinh x = e x − e − x 2 = e 2 x − 1 2 e x = 1 − e − 2 x 2 e − x {\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}}
cosh x = e x + e − x 2 = e 2 x + 1 2 e x = 1 + e − 2 x 2 e − x {\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}} .
tanh x = sinh x cosh x = e x − e − x e x + e − x {\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}}
= e 2 x − 1 e 2 x + 1 = 1 − e − 2 x 1 + e − 2 x {\displaystyle ={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}={\frac {1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}}
Cotangente hiperbólica: x ≠ 0 {\displaystyle x\not =0} coth x = cosh x sinh x = e x + e − x e x − e − x = {\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=}
= e 2 x + 1 e 2 x − 1 = 1 + e − 2 x 1 − e − 2 x {\displaystyle ={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}={\frac {1+e^{-2x}}{1-e^{-2x}}}}
sech x = 1 cosh x = 2 e x + e − x {\displaystyle \operatorname {sech} \,x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}}
= 2 e x e 2 x + 1 = 2 e − x 1 + e − 2 x {\displaystyle ={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}={\frac {2e^{-x}}{1+e^{-2x}}}}
Cossecante hiperbólica: x ≠ 0 {\displaystyle x\not =0} csch x = 1 sinh x = 2 e x − e − x {\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}}
= 2 e x e 2 x − 1 = 2 e − x 1 − e − 2 x {\displaystyle ={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}={\frac {2e^{-x}}{1-e^{-2x}}}}
Derivadas das funções hiperbólicas As derivadas das funções hiperbólicas são as seguintes:
Derivada do seno hiperbólico: d d x sinh x = cosh x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sinh x=\cosh x}
Derivada do cosseno hiperbólico: d d x cosh x = sinh x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cosh x=\sinh x}
Derivada da tangente hiperbólica: d d x tanh x = 1 − tanh 2 x = sech 2 x = 1 / cosh 2 x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh x=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x=1/\cosh ^{2}x}
Derivada da cotangente hiperbólica: d d x coth x = 1 − coth 2 x = − csch 2 x = − 1 / sinh 2 x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\coth x=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-1/\sinh ^{2}x} , se x ≠ 0 {\displaystyle x\not =0}
Derivada da secante hiperbólica: d d x sech x = − tanh x sech {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ \operatorname {sech} \,x=-\tanh x\ \operatorname {sech} }
Derivada da cossecante hiperbólica: d d x csch x = − coth x csch {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ \operatorname {csch} \,x=-\coth x\ \operatorname {csch} } , se x ≠ 0 {\displaystyle x\not =0}
Derivadas das funções hiperbólicas inversas Ver artigo principal: Função hiperbólica inversa
As derivadas das funções hiperbólicas inversas (também chamadas de funções arco) são as seguintes:
d d x arsinh x = 1 x 2 + 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arsinh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}
Derivada do arco cosseno hiperbólico: d d x arcosh x = 1 x 2 − 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcosh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}} , se 1 < x {\displaystyle 1<x}
Derivada do arco tangente hiperbólico: d d x artanh x = 1 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {artanh} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}} , se − 1 < x < 1 {\displaystyle -1<x<1}
Derivada do arco cotangente hiperbólico: d d x arcoth x = 1 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcoth} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}} , se | x | > 1 {\displaystyle \left\vert x\right\vert >1}
Derivada do arco secante hiperbólico: d d x arsech x = − 1 x 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arsech} \,x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}} , se 0 < x < 1 {\displaystyle 0<x<1}
Derivada do arco cossecante hiperbólico: d d x arcsch x = − 1 | x | 1 + x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcsch} \,x=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}} , se x ≠ 0 {\displaystyle x\not =0}
Relações com as funções trigonométricas As funções hiperbólicas podem ser definidas, usando-se números complexos , a partir das funções trigonométricas:
sin ( i x ) = i sinh x {\displaystyle \sin(ix)=i\sinh x\,} cos ( i x ) = cosh x {\displaystyle \cos(ix)=\cosh x\,} tan ( i x ) = i tanh x {\displaystyle \tan(ix)=i\tanh x\,} cos ( x ) = cosh ( i x ) {\displaystyle \cos(x)=\cosh(ix)} sin ( x ) = i sinh ( − i x ) {\displaystyle \sin(x)=i\sinh(-ix)} tan ( x ) = i tanh ( − i x ) {\displaystyle \tan(x)=i\tanh(-ix)\,} onde i é uma unidade imaginária com a propriedade i 2 = −1.
As formas complexas nas definições acima são provenientes da Fórmula de Euler .
Prova resumida de cos ( i x ) = cosh ( x ) {\displaystyle \cos(ix)=\cosh(x)} :
cos ( x y ) = e x y i 1 2 + e − x y i 1 2 {\displaystyle \cos(xy)=e^{xyi}{\frac {1}{2}}+e^{-xyi}{\frac {1}{2}}} :
cos ( i x ) = e − x 1 2 + e x 1 2 = cosh ( x ) {\displaystyle \cos(ix)=e^{-x}{\frac {1}{2}}+e^{x}{\frac {1}{2}}=\cosh(x)}
O mesmo funciona para as demais relações afirmadas.
Relações importantes (para t real) ( senh ( t ) + cosh ( t ) ) m = ( e t ) m = e m t = senh ( m t ) + cosh ( m t ) {\displaystyle (\operatorname {senh} (t)+\cosh(t))^{m}=(e^{t})^{m}=e^{mt}=\operatorname {senh} (mt)+\cosh(mt)}
e 2 t = ( sinh ( t ) + cosh ( t ) cosh ( t ) − sinh ( t ) ) {\displaystyle e^{2t}=\left({\frac {\sinh(t)+\cosh(t)}{\cosh(t)-\sinh(t)}}\right)}
e 2 t = ( sinh ( t ) + cosh ( t ) ) 2 {\displaystyle e^{2t}=(\sinh(t)+\cosh(t))^{2}}
cosh 2 ( t ) − senh 2 ( t ) = 1 {\displaystyle \cosh ^{2}(t)-\operatorname {senh} ^{2}(t)=1}
e − t ( sinh ( t ) + cosh ( t ) ) = 1 {\displaystyle e^{-t}(\sinh(t)+\cosh(t))=1}
e t ( sinh ( t ) − cosh ( t ) ) = − 1 {\displaystyle e^{t}(\sinh(t)-\cosh(t))=-1}
Referências ↑ Robert E. Bradley, Lawrence A. D'Antonio, Charles Edward Sandifer. Euler at 300: an appreciation. Mathematical Association of America, 2007. Página 100. - GRAVILLE SMITH, William Elementos de Cálculo Diferencial e Integral Editora Biblioteca da Marinha do Brasil , 1950.
Ligações Externas Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Hyperbolic functions», Enciclopédia de Matemática , ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer (em inglês) Hyperbolic functions on PlanetMath (em inglês) Hyperbolic functions entry at MathWorld (em inglês) Web-based calculator of hyperbolic functions (em inglês) Ver também Catenária , o gráfico da função y = cosh x {\displaystyle y=\cosh x\,} .