Identidade de Euler

A função exponencial natural ez pode ser definida como o limite de (1 + zN)N, quando N tende ao infinito, e assim eiπ é o limite de (1 + iπN)N. Nesta animação N assume vários valores crescentes de 1 a 100. O cálculo de (1 + iπN)N é mostrado como efeito combinado de N multiplicações repetidas no plano complexo, com o ponto final sendo o valor de (1 + iπN)N. Pode ser visto que quando N cresce (1 + iπN)N aproxima o limite −1.

Em matemática, a identidade de Euler é representada pela equação

e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} .

Segundo Richard Feynman seria a identidade mais bela de toda a matemática. A equação aparece na obra de Leonhard Euler Introdução, publicada em Lausanne em 1748. Nesta equação, e é a base do logaritmo natural, i {\displaystyle i} é a unidade imaginária (número imaginário com a propriedade i² = -1), e π {\displaystyle \pi } é a constante de Arquimedes pi (π, a razão entre o perímetro e o diâmetro de qualquer circunferência).

A beleza da equação é que ela relaciona cinco números fundamentais da matemática: e, pi, i, 0 e 1; e as operações base da matemática: adição, multiplicação e exponenciação.

Demonstração da Identidade de Euler

A série de Taylor, de forma geral, é enunciada como,

f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) ( x − a ) n n ! {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{f^{(n)}(a)(x-a)^{n} \over n!}} .

Quando aplicamos a série para a função exponencial, nós encontramos que,

e x = e a ( x − a ) 0 + e a ( x − a ) 1 1 ! + e a ( x − a ) 2 2 ! + . . . {\displaystyle e^{x}=e^{a}(x-a)^{0}+e^{a}{(x-a)^{1} \over 1!}+e^{a}{(x-a)^{2} \over 2!}+...}

para a série centrada no ponto a = 0 {\displaystyle a=0} ,

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}} .

Esta função exponencial complexa tem as mesmas propriedades que a função exponencial real. Disso concluímos que e z 1 + z 2 = e z 1 . e z 2 {\displaystyle e^{z_{1}+z_{2}}=e^{z_{1}}.e^{z_{2}}} e se fizermos z = i y {\displaystyle z=iy} onde y {\displaystyle y} é um número real, obteremos: e i y = 1 + i y + ( ( i y ) 2 2 ! ) + ( ( i y ) 3 3 ! ) + ( ( i y ) 4 4 ! ) + ( ( i y ) 5 5 ! ) ⋯ = 1 + i y − ( y 2 2 ! ) − i ( y 3 3 ! ) + ( y 4 4 ! ) + i ( y 5 5 ! ) ⋯ {\displaystyle e^{iy}=1+iy+\left({\frac {(iy)^{2}}{2!}}\right)+\left({\frac {(iy)^{3}}{3!}}\right)+\left({\frac {(iy)^{4}}{4!}}\right)+\left({\frac {(iy)^{5}}{5!}}\right)\cdots =1+iy-\left({\frac {y^{2}}{2!}}\right)-i\left({\frac {y^{3}}{3!}}\right)+\left({\frac {y^{4}}{4!}}\right)+i\left({\frac {y^{5}}{5!}}\right)\cdots }

= 1 − ( y 2 2 ! ) + ( y 4 4 ! ) − ( y 6 6 ! ) ⋯ + i [ y − ( y 3 3 ! ) + ( y 5 5 ! ) ⋯ ] {\displaystyle =1-\left({\frac {y^{2}}{2!}}\right)+\left({\frac {y^{4}}{4!}}\right)-\left({\frac {y^{6}}{6!}}\right)\cdots +i[y-\left({\frac {y^{3}}{3!}}\right)+\left({\frac {y^{5}}{5!}}\right)\cdots ]}

= ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n y 2 n ( 2 n ) ! + i ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n y 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}y^{2n} \over (2n)!}+i\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}y^{2n+1} \over (2n+1)!}} ,

as duas séries são as famosas séries das funções c o s ( y ) {\displaystyle cos(y)} e s e n ( y ) {\displaystyle sen(y)} , respectivamente. Portanto, vemos que a função exponencial com argumento complexo será

e i y = c o s ( y ) + i s e n ( y ) {\displaystyle e^{iy}=cos(y)+i\,sen(y)} .

aplicando para y = π {\displaystyle y=\pi }

e i π = − 1 → e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }=-1\,\,\,\rightarrow \,\,\,e^{i\pi }+1=0}

Bibliografa

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