Integração por substituição

Cálculo
Teorema fundamental Limite de funções Continuidade Teorema do valor médio Teorema de Rolle
Cálculo Definições Derivada Diferencial Diferencial de uma função Generalizações da derivada Conceitos Notações para diferenciação Segunda derivada Terceira derivada Mudança de variáveis Derivação implícita Taxas relativas Teorema de Taylor Tabela de derivadas Somas Produto Regra da cadeia Potências Quocientes Fórmula de Faà di Bruno
Cálculo integral Tábua de integrais Definições Primitiva Integral Integral imprópria Integral de Riemann Integral de Lebesgue Integral de linha Integração por partes discos cascas cilíndricas substituição substituição trigonométrica Frações parciais mudança de ordem fórmulas de redução
Série Geométrica Aritmético-geométrica Harmônica Alternada Potências Binomial Taylor Laurent Fourier Testes de convergência Teste da divergência Razão Raiz Integral Comparação direta Comparação no limite Série alternada Condensação de Cauchy Dirichlet Abel
Cálculo vetorial Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Derivada direcional
Cálculo com múltiplas variáveis Formalismo Matriz Tensor Exterior Geométrico Definições Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana
Cálculo especializado Cálculo de variações Fracional Malliavin Estocástico
v d e

Em cálculo, integração por substituição, também conhecido como substituição u ou mudança de variáveis,^[1] é um método para calcular integrais e antiderivadas. É a contraparte da regra da cadeia para derivadas, e pode ser vagamente considerada como o uso da regra da cadeia "para trás".

Substituição para uma única variável

Introdução

Antes de estabelecer o resultado rigorosamente, consideremos um caso simples usando integral indefinida.

Calcular ${\displaystyle \textstyle \int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx}$.^[2]

Definir ${\displaystyle u=2x^{3}+1}$. Isto significa que ${\displaystyle \textstyle {\frac {du}{dx}}=6x^{2}}$, ou, na forma diferencial ${\displaystyle du=6x^{2}\,dx}$. Assim

${\displaystyle \int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx={\frac {1}{6}}\int \underbrace {(2x^{3}+1)^{7}} _{u^{7}}\underbrace {(6x^{2})\,dx} _{du}={\frac {1}{6}}\int u^{7}\,du={\frac {1}{6}}\left({\frac {1}{8}}u^{8}\right)+C={\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C}$,

onde ${\displaystyle C}$ é uma constante arbitrária de integração.

Este procedimento é usado frequentemente, porém nem todas as integrais são de uma forma que permita seu uso. De qualquer forma, o resultado deve ser verificado mediante derivação e comparação com o integrando original.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C\right]={\frac {1}{6}}(2x^{3}+1)^{7}(6x^{2})=(2x^{3}+1)^{7}(x^{2}).}$

Para integrais definidas os limites de integração também devem ser ajustados, mas o procedimento é basicamente o mesmo.

Integrais definidas

Seja φ : [a,b] → I uma função diferenciável com derivada contínua, onde I ⊆ R é um intervalo. Suponha que f : I → R é uma função contínua. Então^[3]

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du.}$

Na notação de Leibniz, a substituição u = φ(x) fornece

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=\varphi '(x).}$

Trabalhando euristicamente com infinitesimais resulta a equação

${\displaystyle du=\varphi '(x)\,dx,}$

que sugere a fórmula de substituição acima. (Esta equação pode ser colocada em uma base rigorosa interpretando-a como uma afirmação sobre formas diferenciais.) Pode-se ver o método de integração por substituição como uma justificativa parcial da notação de Leibniz para integrais e derivadas.

A fórmula é usada para transformar uma integral em outra integral que seja mais fácil de calcular. Assim, a fórmula pode ser lida da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda para simplificar uma dada integral. Quando usada da maneira anterior, às vezes é conhecido como substituição u ou substituição w, em que uma nova variável é definida como uma função da variável original encontrada dentro da função composta multiplicada pela derivada da função interna. A última maneira é comumente usada na substituição trigonométrica, substituindo a variável original por uma função trigonométrica de uma nova variável e o diferencial original pelo diferencial da função trigonométrica.

Prova

A integração por substituição pode ser demonstrada a partir do teorema fundamental do cálculo como segue. Sejam f e φ duas funções satisfazendo as hipóteses acima de que f é contínua sobre I e φ′ é integrável sobre o intervalo fechado [a,b]. Então a função f(φ(x))φ′(x) é também integrável sobre [a,b]. Portanto as integrais

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx}$

e

${\displaystyle \int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du}$

existem de fato, e resta mostrar que as mesmas são iguais.

Como f é contínua, a mesma possui a antiderivada F. A função composta F ∘ φ é então definida. Dado que φ é diferenciável, combinando a regra da cadeia e a definição de uma antiderivada resulta

${\displaystyle (F\circ \varphi )'(x)=F'(\varphi (x))\varphi '(x)=f(\varphi (x))\varphi '(x).}$

Aplicando o teorema fundamental do cálculo duas vezes resulta

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx&=\int _{a}^{b}(F\circ \varphi )'(x)\,dx\\&=(F\circ \varphi )(b)-(F\circ \varphi )(a)\\&=F(\varphi (b))-F(\varphi (a))\\&=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du,\end{aligned}}}$

que é a regra da substituição.

Exemplos

Exemplo 1

Considere a integral

${\displaystyle \int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)dx.}$

Faça a substituição ${\displaystyle u=x^{2}+1}$ para obter ${\displaystyle du=2xdx}$, significando ${\displaystyle \textstyle xdx={\frac {1}{2}}du}$. Portanto,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x=0}^{x=2}x\cos(x^{2}+1)dx&={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}\cos(u)\,du\\[6pt]&={\frac {1}{2}}(\operatorname {sen}(5)-\operatorname {sen}(1)).\end{aligned}}}$

Como o limite inferior ${\displaystyle x=0}$ foi substituído por ${\displaystyle u=1}$ e o limite superior ${\displaystyle x=2}$ por ${\displaystyle 2^{2}+1=5}$, uma transformação de volta em termos de ${\displaystyle x}$ não é necessária.

Referências

Bibliografia

• Briggs, William; Cochran, Lyle (2011), Calculus /Early Transcendentals, ISBN 978-0-321-66414-3 Single Variable ed. , Addison-Wesley 
• Ferzola, Anthony P. (1994), «Euler and differentials», The College Mathematics Journal, 25 (2): 102–111, doi:10.2307/2687130 
• Fremlin, D.H. (2010), Measure Theory, Volume 2, ISBN 978-0-9538129-7-4, Torres Fremlin .
• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and Abstract Analysis, ISBN 978-0-387-04559-7, Springer-Verlag .
• Katz, V. (1982), «Change of variables in multiple integrals: Euler to Cartan», Mathematics Magazine, 55 (1): 3–11, doi:10.2307/2689856 
• Rudin, Walter (1987), Real and Complex Analysis, ISBN 978-0-07-054234-1, McGraw-Hill .
• Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with analytic geometry, ISBN 0-87150-341-7 alternate ed. , Prindle, Weber & Schmidt 
• Spivak, Michael (1965), Calculus on Manifolds, ISBN 978-0-8053-9021-6, Westview Press .

Ligações externas

• Integration by substitution at Encyclopedia of Mathematics
• Area formula at Encyclopedia of Mathematics