Movimento uniformemente variado

Mecânica clássica
Diagramas de movimento orbital de um satélite ao redor da Terra, mostrando a velocidade e aceleração.
Cinemática Deslocamento Velocidade Velocidade escalar Aceleração Aceleração centrípeta Movimento uniforme Movimento uniformemente variado Movimento retilíneo Movimento parabólico Movimento circular Movimento circular uniforme Movimento curvilíneo Movimento harmônico simples Movimento harmônico complexo
Dinâmica Força Inércia Produto de inércia Leis de Newton Primeira Lei de Newton Segunda Lei de Newton Terceira Lei de Newton Equações de movimento Ressonância
História História da física
Trabalho e Mecânica Energia cinética Energia potencial Trabalho Conservação da energia Força conservativa Força de contato Função de Lagrange Potência Retropropulsão Princípio de Hamilton
Sistema de partículas Centro de massa Corpo rígido Momento linear Conservação do momento linear Equilíbrio dinâmico Princípio de d'Alembert Sistema massa-mola
Colisões Impulso Colisão elástica Colisão inelástica
Movimento rotacional Posição angular Deslocamento angular Velocidade angular Aceleração angular Momento de inércia Torque Momento angular
Sistemas Clássicos Sistema dinâmico Sistema linear Sistema não linear Sistema hamiltoniano Sistema caótico
Formulações Mecânica newtoniana Mecânica hamiltoniana Mecânica lagrangiana Mecânica KvN Equação de Udwadia-Kalaba Mecânica de Routhian
Gravitação Lei da gravitação universal Princípio da superposição Constante gravitacional Velocidade de escape Leis de Kepler Princípio da equivalência
Físicos Isaac Newton Leonhard Euler Joseph-Louis Lagrange Pierre-Simon Laplace Galileu Galilei William Rowan Hamilton Johannes Kepler
v d e

Movimento uniformemente variado é o movimento no qual a velocidade escalar varia uniformemente no decorrer do tempo. O movimento caracteriza-se por haver uma aceleração escalar constante e diferente de 0.

Função horária da velocidade

A equação da velocidade em função do tempo é:

${\displaystyle v=v_{0}+\alpha t}$

onde:

${\displaystyle v}$ (ou ${\displaystyle v(t)}$)momento ${\displaystyle t}$;
${\displaystyle v_{0}}$ é a velocidade inicial. Caso o instante inicial seja ${\displaystyle t=0}$, teremos ${\displaystyle v_{0}=v(0)}$;
${\displaystyle \alpha }$ é a aceleração; e
${\displaystyle t}$ é o tempo decorrido desde o início do movimento.

Como a aceleração escalar é a mesma em todos os instantes, ela coincide com a aceleração escalar média, qualquer que seja o intervalo de tempo considerado.

Então escrevemos:

${\displaystyle \alpha ={\frac {\Delta v}{\Delta t}}\Rightarrow \alpha ={\frac {v-v_{0}}{t-0}}\Rightarrow v=v_{0}+\alpha t}$

Essa função estabelece como varia a velocidade escalar no percorrer do tempo no movimento uniformemente variado:${\displaystyle v_{0}}$ e ${\displaystyle \alpha }$ são constantes, e a cada valor de ${\displaystyle t}$ corresponde um único valor de ${\displaystyle v}$

Na tabela a seguir vemos alguns exemplos, considerando a velocidade ${\displaystyle v}$ em metros por segundo (m/s) e a aceleração ${\displaystyle \alpha }$ em metros por segundo ao quadrado.

${\displaystyle v=v_{0}+\alpha _{t}}$	${\displaystyle v_{0}}$	${\displaystyle \alpha }$
v = 5 + 2t	${\displaystyle v_{0}}$ = +5 m/s	${\displaystyle \alpha }$ = +2 m/s²
v = -3 + 8t	${\displaystyle v_{0}}$ = -3 m/s	${\displaystyle \alpha }$ = +8 m/s²
v = 2 + 3t	${\displaystyle v_{0}}$ = 2 m/s	${\displaystyle \alpha }$ = +3 m/s²
v = 2 - 3t	${\displaystyle v_{0}}$ = +2 m/s	${\displaystyle \alpha }$ = -3 m/s²
v = -4 - 9t	${\displaystyle v_{0}}$ = -4 m/s	${\displaystyle \alpha }$ = -9 m/s²

Função horária do espaço

A equação que fornece a posição do móvel em qualquer instante t é:

${\displaystyle s=s_{0}+v_{0}t+{\frac {\alpha }{2}}t^{2}}$

A fórmula acima é obtida integrando-se a função horária da velocidade:

${\displaystyle \Delta s=\int v(t)dt=\int (v_{0}+\alpha t)dt\Rightarrow s-s_{0}=v_{0}t+{\frac {\alpha }{2}}t^{2}\Rightarrow s=s_{0}+v_{0}t+{\frac {\alpha }{2}}t^{2}}$

onde ${\displaystyle s}$ é a posição (distância) atual do corpo (o s vem do latim spatio, mas também é utilizada o d, por indicar distância), ${\displaystyle s_{0}}$ é a posição da qual ele começou o movimento, ${\displaystyle v_{0}}$ é a velocidade inicial do corpo, ${\displaystyle a}$ é a aceleração e ${\displaystyle t}$ é o tempo decorrido desde o início do movimento.^[1] Na função horária do MUV, o coeficiente de ${\displaystyle t^{2}}$ é ${\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}$.

Assim , se a função for do tipo: ${\displaystyle s=5+2t+4t^{2}}$ (s em metros e t em segundos) , observaremos que:

${\displaystyle 4={\frac {\alpha }{2}}\Rightarrow \alpha =2\cdot 4\Rightarrow \alpha =8\,{\text{ m/s²}}}$

Portanto , para se ter a aceleração escalar ${\displaystyle \alpha }$ basta multiplicarmos o coeficiente de ${\displaystyle t^{2}}$ por 2.^[1] Obtemos assim:

Movimento Uniformemente Variado
${\displaystyle s=s_{0}+v_{0}t+{\frac {\alpha }{2}}t^{2}}$      ${\displaystyle v=v_{0}+\alpha t}$       ${\displaystyle \alpha =constante\neq 0}$

Essas funções têm o papel de definir o MUV em qualquer trajetória. No entanto apenas o conhecimento dessas, não permite nenhuma conclusão sobre a forma da trajetória.

Da função horária após identificarmos ${\displaystyle s_{0}}$, ${\displaystyle v_{0}}$ e ${\displaystyle \alpha }$ , podemos chegar à função horária da velocidade escalar, como vemos no exemplo:

${\displaystyle s={\underset {\Bigg \downarrow }{s_{0}}}+{\underset {\Bigg \downarrow }{v_{0}t}}+{\underset {\Bigg \downarrow }{\frac {\alpha }{2}}}t^{2}{\xrightarrow[{\text{ligando-se à função horária de v}}]{v}}v=v_{0}+\alpha t}$

${\displaystyle \underbrace {s=5-2t\ +{\frac {3}{2}}t^{2}} _{Fs}}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle Temos:s_{0}=5m;\ v_{0}=-2m/s;\ \alpha =3m/s^{2}\Rightarrow \underbrace {v=-2+3t} _{Fv}}$

Perceba que da função horária dos espaços (Fs) chega-se à função horária da velocidade , representada por (Fv).^[1]

Equação de Torricelli no MUV

No MUV há muitos casos em que podemos relacionar a velocidade escalar v em função do espaço s o que é feito com o emprego da equação de Torricelli que mostra-se a seguir:

${\displaystyle v^{2}=v_{0}^{2}+2\alpha tv_{0}+\alpha ^{2}t^{2}\quad \Rightarrow \quad v^{2}=v_{0}^{2}+2\alpha {\Bigg (}v_{0}t+{\frac {\alpha }{2}}t^{2}{\Bigg )}}$

Comparando com a função horária ...

${\displaystyle s-s_{0}=v_{0}t+{\frac {\alpha }{2}}t^{2}\quad ,temos:v^{2}=v_{0}^{2}+2\alpha (s-s_{0})}$

ou ainda:

${\displaystyle v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta s\,}$ equação de Torricelli para o MUV

onde ${\displaystyle v}$ é a velocidade atual, ${\displaystyle v_{0}}$ é a velocidade inicial, ${\displaystyle a}$ é a aceleração e ${\displaystyle \Delta s}$ é a variação de posição durante o movimento.Sabendo-se que as variações são iguais a zero (...) Nessa fórmula, a velocidade escalar varia em função do espaço; ${\displaystyle v_{0}}$ é a velocidade inicial, e ${\displaystyle \alpha }$ é a aceleração escalar do movimento, podendo ser positiva ou negativa de acordo com as convenções adotadas.^[2]

Velocidade média

A velocidade média no MUV é dada pela média aritmética entre a velocidade final e inicial:

${\displaystyle {\overline {v}}={\frac {\Delta S}{\Delta t}}={\frac {v_{0}+v_{f}}{2}}=v_{0}+{\frac {at}{2}}\,}$

Gráficos do MUV

No movimento uniformemente variado podemos perceber três funções distintas:

1. Aceleração em função do tempo - Como a aceleração nesse movimento é constante e diferente de zero, então apresenta-se uma função constante. Logo o gráfico apresenta-se como uma reta paralela ao eixo das abscissas.
2. Velocidade em função do tempo - A função da velocidade em função do tempo é uma função de primeiro grau. Logo apresenta-se como uma linha reta que concorre com o eixo das abscissas.
3. Deslocamento em função do tempo - O deslocamento em função do tempo é uma função de segundo grau. Logo ela se apresenta como uma parábola.

Referências

• Portal da ciência
• Portal da física