Teorema do trabalho-energia

O teorema do trabalho-energia é um teorema da mecânica clássica, segundo o qual o trabalho ${\displaystyle W}$ realizado sobre um corpo de massa ${\displaystyle m}$ por uma força ${\displaystyle F}$ é igual à variação da energia cinética desse corpo:

${\displaystyle W=\Delta K}$

Nessa expressão, ${\displaystyle \Delta K}$ é a diferença entre a energia cinética final, ${\displaystyle K_{f}}$, e a energia cinética inicial, ${\displaystyle K_{i}}$, do corpo:

${\displaystyle \Delta K=K_{f}-K_{i}}$.^[1]

Portanto:

${\displaystyle W=K_{f}-K_{i}}$

Caso particular: força constante

Para demonstrá-lo, partimos das definições de velocidade e aceleração e usamos a segunda lei de Newton para, por fim, usar as definições de trabalho e energia cinética.

A demonstração assume que o corpo está em movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV), ou seja, que sua aceleração linear é constante. Do ponto de vista da dinâmica, isto equivale a dizer que a força que realiza trabalho sobre o corpo também é constante. Para facilitar a demonstração, vamos representar as grandezas vetoriais deslocamento, velocidade, aceleração e força na suas formas escalares. Isto é possível com uma escolha adequada de um referencial inercial, por exemplo: se alinharmos o eixo-x do referencial à direção do movimento do corpo. A demonstração também assume que o corpo se comporta como uma partícula e, por conveniência, vamos assumir que o instante inicial do movimento, ${\displaystyle t_{i}}$, é zero, ${\displaystyle t_{i}=0}$, e que o instante final, é ${\displaystyle t_{f}=t}$.

• Definição de velocidade linear, ${\displaystyle v}$:

${\displaystyle v\equiv {\frac {dx}{dt}}}$

onde, ${\displaystyle x=x(t)}$ é a posição do corpo em função do tempo, ${\displaystyle t}$.

• Partindo da definição de aceleração linear, ${\displaystyle a}$,

${\displaystyle a\equiv {\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}}$,

temos que

${\displaystyle dv=a\,dt}$,

com ${\displaystyle a=constante}$. Integrando ambos os lados da equação:

${\displaystyle \int dv=\int a\,dt}$

${\displaystyle v_{f}-v_{i}=a\,(t-0)}$

${\displaystyle v_{f}-v_{i}=a\,t}$

Esta é uma das equações cinemáticas do MRUV. Isolando o tempo:

${\displaystyle t={\frac {v_{f}-v_{i}}{a}}}$

• Uma segunda equação cinemática é obtida resolvendo a equação diferencial,

${\displaystyle a={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}}$ :

${\displaystyle x_{f}=x_{i}+v_{i}t+{\frac {1}{2}}at^{2}}$

Aplicando o discriminante da equação quadrática para resolver a equação de segundo grau acima, temos:

${\displaystyle t={\frac {-v_{i}\pm {\sqrt {v_{i}^{2}-4\,{\frac {1}{2}}\,a(x_{i}-x_{f})}}}{2\,{\frac {1}{2}}\,a}}}$

${\displaystyle t={\frac {-v_{i}\pm {\sqrt {v_{i}^{2}-2\,a(x_{i}-x_{f})}}}{a}}}$

• Igualando a equação acima com aquela obtida no passo anterior,

${\displaystyle {\frac {v_{f}-v_{i}}{a}}={\frac {-v_{i}\pm {\sqrt {v_{i}^{2}-2\,a(x_{i}-x_{f})}}}{a}}}$

${\displaystyle v_{f}-v_{i}=-v_{i}\pm {\sqrt {v_{i}^{2}+2\,a(x_{f}-x_{i})}}}$

${\displaystyle v_{f}=\pm {\sqrt {v_{i}^{2}+2\,a(x_{f}-x_{i})}}}$

Elevando ambos os lados da equação acima ao quadrado:

${\displaystyle v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2\,a(x_{f}-x_{i})}$

${\displaystyle v_{f}^{2}-v_{i}^{2}=2\,a(x_{f}-x_{i})}$

${\displaystyle {\frac {v_{f}^{2}-v_{i}^{2}}{2}}=a\,(x_{f}-x_{i})}$

• Escrevendo o deslocamento ${\displaystyle x_{f}-x_{i}}$ como ${\displaystyle \Delta x=(x_{f}-x_{i})}$

${\displaystyle {\frac {v_{f}^{2}-v_{i}^{2}}{2}}=a\,\Delta x}$

• Introduzindo conceitos da dinâmica.

Até aqui, utilizamos apenas conceitos cinemáticos, como deslocamento, velocidade, aceleração e tempo. A partir deste passo, vamos introduzir conceitos da dinâmica: massa, força, trabalho e energia cinética. Multiplicando todos os termos da equação acima pela massa, ${\displaystyle m}$, do corpo:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv_{f}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{i}^{2}=m\,a\,\Delta x}$

• Pela segunda lei de Newton, ${\displaystyle F=m\,a}$, donde

${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv_{f}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{i}^{2}=F\,\Delta x}$

• Mas, ${\displaystyle F\Delta x}$ é o trabalho mecânico, ${\displaystyle W}$,

realizado pela força constante, ${\displaystyle F}$, sobre a massa ${\displaystyle m}$ para deslocá-la por ${\displaystyle \Delta x}$:

${\displaystyle W=F\,\Delta x}$

logo,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv_{f}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{i}^{2}=W}$

• Neste ponto, introduzimos a definição de energia cinética,

${\displaystyle K}$, como sendo a metade do produto da massa pela velocidade quadrática de uma partícula,

${\displaystyle K\equiv {\frac {1}{2}}m\,v^{2}}$

temos que

${\displaystyle K_{f}-K_{i}=W}$

Fazendo ${\displaystyle \Delta K\equiv K_{f}-K_{i}}$, temos finalmente

${\displaystyle W=\Delta K}$

conforme enunciado pelo teorema trabalho-energia.

Caso geral: força variável

Agora vamos considerar o caso mais geral, em que a força ${\displaystyle F}$ que atua sobre o corpo não é constante, podendo variar sua direção, sentido e intensidade ao longo do tempo, ${\displaystyle {\vec {F}}={\vec {F}}(t)}$. Neste caso, partimos da definição de trabalho,

${\displaystyle W\equiv \int \ {\vec {F}}\,d{\vec {r}}}$

onde, ${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}(t)}$ é o vetor deslocamento. Aplicando a segunda lei de Newton:

${\displaystyle W=\int m\,{\vec {a}}\,d{\vec {r}}}$

e a definição de aceleração, ${\displaystyle {\vec {a}}}$,

${\displaystyle W=\int m\,{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}\,d{\vec {r}}=\int m\,{\frac {d{\vec {r}}}{dt}}\,d{\vec {v}}}$

${\displaystyle W=\int m\,{\vec {v}}d{\vec {v}}}$

cuja solução é

${\displaystyle W={\frac {1}{2}}mv_{f}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{i}^{2}}$

Introduzindo a definição de energia cinética,

${\displaystyle K\equiv {\frac {1}{2}}mv^{2}}$

${\displaystyle W=\Delta K}$

conforme o teorema.

Referências