Caracteristică (algebră)

În teoria algebrică a inelelor și a corpurilor, caracteristica este un număr caracteristic unui inel sau corp care arată de câte ori trebuie adunat elementul neutru multiplicativ pentru a se obține elementul neutru aditiv. Dacă acest lucru nu este posibil, se va considera că această caracteristică are valoarea zero.

Caracteristica unui inel

Se consideră un inel unitar nenul notat  ${\displaystyle A(+,\cdot )}$ . Dacă elementul 1 are ordinul infinit în grupul  ${\displaystyle A(+,\cdot )}$  se spune că A este un inel de caracteristică 0 și se scrie  ${\displaystyle \mathbf {car} \;(A)=0.}$  Deci:

 ${\displaystyle \mathbf {car} \;(A)=0\;\Leftrightarrow \;n\cdot 1\neq 0,\;\forall n\in \mathbb {N} ^{*}.}$ 

Dacă ordinul lui 1 în grupul  ${\displaystyle (A,+)}$  este p, se spune că inelul A are caracteristică p și se scrie  ${\displaystyle \mathbf {car} \;(A)=p.}$  Acest lucru revine la a spune că p este cel mai mic număr natural nenul cu proprietatea că  ${\displaystyle p\cdot 1=0.}$ 

De exemplu, inelul întregilor este un inel de caracteristică 0, pe când  ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}}$  este inel de caracteristică 3.

Observație. Dacă inelul  ${\displaystyle A(+,\cdot )}$  este domeniu de integritate de caracteristică p, atunci p este număr prim.

Într-adevăr, dacă p nu ar fi prim, atunci de poate scrie  ${\displaystyle p=p_{1}\cdot p_{2}}$  cu  ${\displaystyle p_{1},p_{2}}$  numere naturale mai mici decât p și diferite de 1 și p. Cum  ${\displaystyle p\cdot 1=0}$  iar  ${\displaystyle (p_{1}\cdot p_{2})\cdot 1=(p_{1}\cdot 1)\cdot (p_{2}\cdot 1)}$  obținem că  ${\displaystyle (p_{1}\cdot 1)\cdot (p_{2}\cdot 1)=0}$  și cum A este domeniu de integritate, se deduce că  ${\displaystyle p_{1}\cdot 1=0}$  sau  ${\displaystyle p_{2}\cdot 1=0,}$  contradicând minimalitatea lui p cu proprietatea că  ${\displaystyle p\cdot 1=0.}$

Caracteristica unui corp

Caracteristica unui corp ${\displaystyle \mathbb {K} \!}$ este zero dacă acest corp conține un corp izomorf cu corpul ${\displaystyle \mathbb {Q} \!}$ al numerelor raționale, iar în caz contrar este numărul prim] p, pentru care:

${\displaystyle {\underset {de\;p\;ori}{\underbrace {e+e+\cdots +e} }}=0,\!}$

unde e este elementul neutru pentru operația de înmulțire din ${\displaystyle \mathbb {K} .\!}$

Caracteristica unui corp ${\displaystyle \mathbb {K} \!}$ se determină astfel: se consideră omomorfismul de inele ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {K} ,\!}$ definit prin:

${\displaystyle f(1)=e\!}$ deci ${\displaystyle f(-1)=-e\!}$ și

${\displaystyle f(n)={\begin{cases}{\underset {de\;n\;ori}{\underbrace {e+e+\cdots +e} }},&pentru\;n>0\\{\underset {de\;-n\;ori}{\underbrace {-e-e-\cdots -e} }},&pentru\;n<0\end{cases}}\!}$

și nucleul său, care fiind un subgrup în ${\displaystyle \mathbb {Z} ,\!}$ are forma ${\displaystyle p\mathbb {Z} ,\!}$ cu p întreg pozitiv. Dacă ${\displaystyle p=0,\!}$ atunci ${\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {K} ,\!}$ deci ${\displaystyle \mathbb {K} \!}$ are caracteristica zero. Dacă ${\displaystyle p\neq 0,\!}$ atunci p este un număr prim și caracteristica lui ${\displaystyle \mathbb {K} \!}$ este p.

Portal Matematică

Acest articol legat de matematică este deocamdată un ciot. Poți ajuta Wikipedia prin completarea lui.