Inel factorial

Inele factoriale

Definitia 1: Un inel integru ${\displaystyle R}$ se numește inel factorial sau cu descompunere unică în factori primi, dacă orice element nenul și neinversabil din ${\displaystyle R}$ se descompune într-un produs finit de elemente prime. Inelele ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$,${\displaystyle \mathbb {Z} [(1+i{\sqrt {3}})/2]}$ și orice inel de polinoame de o nedeterminată cu coeficienți într-un corp sunt inele factoriale.

Teorema 2: Fie ${\displaystyle R}$ un inel integru. Următoarele afirmații sunt echivalente: a) ${\displaystyle R}$ este un inel factorial b) Orice element nenul și neinversabil din ${\displaystyle R}$ se descompune în produs finit de elemente ireductibile și, orice element ireductibil este prim. c) Orice element nenul și neinversabil din ${\displaystyle R}$ se descompune în produs finit de elemente ireductibile și două astfel de descompuneri sunt unice în afară de ordinea factorilor și de asociere. d) Orice element nenul și neinversabil din ${\displaystyle R}$ este produs finit de elemente ireductibile și orice două elemente din ${\displaystyle R}$ au un cel mai mare divizor comun.

Proprietatea 3: Într-un inel factorial orice două elemente au un cel mai mare divizor comun.

Teorema 4: (a lui Gauss) Dacă ${\displaystyle R}$ este un inel factorial, atunci ${\displaystyle R[X]}$ este inel factorial.

Fie R un inel integru și ${\displaystyle f}$${\displaystyle \in }$${\displaystyle R[X]}$ . Se spune că ${\displaystyle f}$ este un polinom primitiv dacă coeficienții lui ${\displaystyle f}$ nu se divid cu același element prim din ${\displaystyle R}$ . Dacă ${\displaystyle R}$ este inel factorial , se notează cu ${\displaystyle c(f)}$cel mai mare divizor comun al coeficienților lui ${\displaystyle f}$ . Polinomul ${\displaystyle f}$ va fi primitiv dacă și numai dacă ${\displaystyle c(f)=1}$ . Orice polinom ${\displaystyle f}$${\displaystyle \in }$${\displaystyle R[X]}$ se va scrie sub forma ${\displaystyle f=c(f)f^{\prime }}$ , unde ${\displaystyle f^{\prime }}$ este un polinom primitiv.

Proprietatea 5: Dacă ${\displaystyle R}$ este un inel factorial și ${\displaystyle f,g}$ sunt două polinoame din ${\displaystyle R[X]}$ , atunci ${\displaystyle c(f,g)}$ este asociat cu ${\displaystyle c(f)c(g)}$ . În particular, produsul a două polinoame primitive este polinom primitiv.

Lema 6: Fie ${\displaystyle R[X]}$ un inel factorial, și ${\displaystyle a}$${\displaystyle \in }$${\displaystyle R[X]}$,${\displaystyle a\neq 0}$ cu ${\displaystyle g}$ polinom primitiv. Dacă ${\displaystyle g}$ divide produsul ${\displaystyle af}$ , atunci ${\displaystyle g}$ divide pe ${\displaystyle f}$. În particular, dacă pentru două polinoame primitive ${\displaystyle f}$ și ${\displaystyle g}$ din ${\displaystyle R[X]}$ avem relația ${\displaystyle ag=bf}$ cu ${\displaystyle a,b}$${\displaystyle \in }$${\displaystyle R[X]}$,${\displaystyle a\neq 0}$, atunci ${\displaystyle f}$ și ${\displaystyle g}$ sunt asociate.

Portal Matematică