Teorema Weierstrass-Bolzano

În analiza matematică, teorema Weierstrass-Bolzano exprimă o proprietate esențială a topologiei numerelor reale.

Este asociată matematicienilor Karl Weierstrass și Bernard Bolzano.

Enunț

O submulțime mărginită și infinită de numere reale are cel puțin un punct de acumulare.

Demonstrație

Fie A o mulțime mărginită și infinită de numere reale. Există ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} \!}$ cu ${\displaystyle a<x<b\!}$ pentru orice ${\displaystyle x\in A.\!}$ Luăm ${\displaystyle a_{0}=a,\;b_{0}=b\!}$ și considerăm ${\displaystyle c={\frac {a_{0}+b_{0}}{2}}.\!}$

Cel puțin unul din intervalele ${\displaystyle [a_{0},c],[c,b_{0}]\!}$ conține o infinitate de elemente din A. Se notează acest interval prin ${\displaystyle [a_{1},b_{1}].\!}$ Deci ${\displaystyle [a_{1},b_{1}]\subset [a_{0},b_{0}]\!}$ și că ${\displaystyle b_{1}-a_{1}={\frac {b-a}{2}}.\!}$ Repetând raționamentul, rezultă o familie de intervale ${\displaystyle I_{n}=[a_{n},b_{n}]\!}$ cu proprietățile:

a) ${\displaystyle I_{n+1}\subset I_{n},\;\forall n\in \mathbb {N} \!}$

b) ${\displaystyle b_{n}-a_{n}={\frac {b-a}{2^{n}}}.\!}$

Prima proprietate permite aplicarea principiului Cantor-Dedekind, de unde va rezulta că intersecția familiei de intervale este nevidă, adică va conține intervalul ${\displaystyle [\alpha ,\beta ]\!}$ ce apare în demonstrația principiului.

Folosind a doua proprietate și principiul lui Arhimede, se va arăta că intersecția familiei de intervale se reduce la un singur număr real, adică faptul că ${\displaystyle \alpha =\beta .\!}$

Din ${\displaystyle a_{n}<\alpha <\beta <b_{n}\!}$ pentru orice ${\displaystyle n\in \mathbb {N} \!}$ rezultă că:

${\displaystyle \beta -\alpha <b_{n}-a_{n}<{\frac {b-a}{2^{n}}},\;\forall n\in \mathbb {N} \!}$

și se obține:

${\displaystyle 2^{n}(\beta -\alpha )<b-a,\;\forall n\in \mathbb {N} .\!}$

Aplicând principiul lui Arhimede pentru ${\displaystyle x=b-a\!}$ și pentru ${\displaystyle y=\beta -\alpha >0\!}$ rezultă că există ${\displaystyle n\in \mathbb {N} \!}$ cu:

${\displaystyle b-a<n(\beta -\alpha )<2^{n}(\beta -\alpha )\!}$

fapt ce contrazice inegalitatea stabilită anterior, respectiv:

${\displaystyle 2^{n}(\beta -\alpha )<b-a,\;\forall n\in \mathbb {N} .\!}$

Se notează prin ${\displaystyle x_{0}\!}$ valoarea comună a lui ${\displaystyle \alpha \!}$ și ${\displaystyle \beta .\!}$ Pentru aceasta se demonstrează că ${\displaystyle x_{0}\!}$ este punct de acumulare pentru mulțimea A.

Fie ${\displaystyle V=(x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon )\!}$ o vecinătate a lui ${\displaystyle x_{0}.\!}$ Se demonstrează mai întâi că există ${\displaystyle a_{n}\!}$ și ${\displaystyle b_{m}\!}$ cu

${\displaystyle x_{0}-\varepsilon <a_{n}<b_{m}<x_{0}+\varepsilon .\!}$

Dacă pentru orice n avem că ${\displaystyle a_{n}<x_{0}-\varepsilon \!}$ atunci obținem că ${\displaystyle [x_{0}-\varepsilon ,x_{0}]\subseteq [a_{n},b_{n}]\!}$ pentru orice n deci ar rezulta că intersecția intervalelor nu se reduce la un punct. Similar se obține existența lui ${\displaystyle b_{m}\!}$ cu proprietatea menționată. În fapt, inegalitățile:

${\displaystyle x_{0}-\varepsilon <a_{n}<b_{m}<x_{0}+\varepsilon \!}$

rezultă imediat și din construcția lui ${\displaystyle \alpha \!}$ și ${\displaystyle \beta .\!}$ Fie în continuare ${\displaystyle k=\max\{n,m\}.\!}$

Avem inegalitățile:

${\displaystyle x_{0}-\varepsilon <a_{n}<a_{k}<b_{k}<b_{m}<x_{0}+\varepsilon \!}$

și deoarece intervalul ${\displaystyle [a_{k},b_{k}]\!}$ conține o infinitate de elemente din mulțimea A, rezultă că ${\displaystyle x_{0}\!}$ este un punct de acumulare al mulțimii.

Legături externe

• en Wolfram MathWord

Acest articol legat de matematică este deocamdată un ciot. Poți ajuta Wikipedia prin completarea lui.