Treapta unitate Heaviside

Funcția treaptă Heaviside, u, numită și funcția treaptă unitate, este o funcție discontinuă ale cărei valori sunt zero pentru argumente negative și unu pentru argumente pozitive. Rareori contează ce valoare este folosită pentru u(0), deoarece ${\displaystyle u}$ este folosită mai ales ca distribuție.

Funcția este folosită în matematica teoriei controlului și a prelucrării semnalelor pentru a reprezenta un semnal care este pornit la un moment dat și rămâne pornit pe termen nedefinit. A fost denumit în cinstea matematicianului englez Oliver Heaviside.

Este funcția de distribuție cumulativă a unei variabile aleatoare care este aproape sigur 0.

Funcția Heaviside este o primitivă a funcției impulsul Dirac: u′ = δ. Aceasta se scrie uneori ca

${\displaystyle u(x)=\int _{-\infty }^{x}{\delta (t)}\mathrm {d} t}$

deși această dezvoltare ar putea să nu aibă sens pentru x = 0, în funcție de ce formalism se folosește pentru a da sens integralelor ce implică δ.

Forma discretă

Se poate defini o formă alternativă a treptei unitate ca funcție de o variabilă discretă n:

${\displaystyle H[n]={\begin{cases}0,&n<0\\1,&n\geq 0\end{cases}}}$

unde n este număr întreg.

Impulsul unitate în timp discret este prima diferență a treptei unitate

${\displaystyle \delta [n]=u[n]-u[n-1].}$

Această funcție este suma cumulativă a funcției delta Kronecker:

${\displaystyle u[n]=\sum _{k=-\infty }^{n}\delta [k]\,}$

unde

${\displaystyle \delta [k]=\delta _{k,0}\,}$

este funcția impuls unitar discret.

Aproximări analitice

Pentru o aproximare derivabilă a funcției treaptă, se poate folosi funcția

${\displaystyle u(x)\approx {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\tanh(kx)={\frac {1}{1+\mathrm {e} ^{-2kx}}}}$,

unde un k mai mare corespunde unei tranziții mai bruște la x = 0. Dacă se ia u(0) = ½, egalitatea este valabilă la limită:

${\displaystyle u(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{2}}(1+\tanh kx)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{1+\mathrm {e} ^{-2kx}}}}$

Există multe aproximări derivabile analitice ale funcției treaptă^[1]. Acestea includ:

${\displaystyle u(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(kx)\ }$

${\displaystyle u(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} (kx)\ }$

În timp ce aceste aproximări converg punctual spre funcția treaptă, distribuțiile pe care le implică nu converg strict către distribuția delta. În particular, mulțimea măsurabilă

${\displaystyle \bigcup _{n=0}^{\infty }[2^{-2n};2^{-2n+1}]}$

are măsura zero în distribuția delta, dar sub fiecare aproximare derivabilă devine mai mare cu cât este crescut k.

Reprezentări

Adesea este utilă o reprezentare integrală a treptei unitate Heaviside:

${\displaystyle u(x)=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}-{1 \over 2\pi \mathrm {i} }\int _{-\infty }^{\infty }{1 \over \tau +\mathrm {i} \epsilon }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\tau }\mathrm {d} \tau }$

u(0)

Valoarea funcției în 0 poate fi definită ca ${\displaystyle u(0)=0}$, ${\displaystyle u(0)={\frac {1}{2}}}$ sau ${\displaystyle u(0)=1}$. ${\displaystyle u(0)={\frac {1}{2}}}$ este alegerea cea mai populară, deoarece maximizează simetria funcției și devine complet consistentă cu funcția signum. Astfel se generalizează definiția:

${\displaystyle u(x)={\frac {1+\operatorname {sgn}(x)}{2}}={\begin{cases}0,&x<0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\1,&x>0\end{cases}}}$

Pentru a elimina ambiguitatea asupra valorii de folosit pentru u(0), se folosește un indice care arată ce valoare se folosește:

${\displaystyle u_{a}(x)={\begin{cases}0,&x<0\\a,&x=0\\1,&x>0\end{cases}}}$

Primitiva și derivata

Funcția rampă este o primitivă a funcției treaptă Heaviside: ${\displaystyle R(x):=\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\mathrm {d} \xi }$

Derivata funcției treaptă Heaviside este impulsul Dirac: ${\displaystyle {\frac {du(x)}{dx}}=\delta (x)}$

Transformata Fourier

Transformata Fourier a funcției treaptă Heaviside este o distribuție. Folosind o variantă de constante pentru definiția transformatei Fourier avem

${\displaystyle {\hat {u}}(s)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} xs}u(x)\,dx={\frac {1}{2}}\left(\delta (s)-{\frac {\mathrm {i} }{\pi s}}\right)}$

Aici termenul ${\displaystyle {\frac {1}{s}}}$ trebuie interpretat ca o distribuție care primește o funcție de test ${\displaystyle \phi }$ valoarea principală Cauchy pentru ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\phi (x)/x\,dx}$.

Note