Cauchys integralkriterium

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2022-09) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Cauchys integralkriterium används inom matematiken till att avgöra om en talserie är konvergent eller divergent genom att jämföra med motsvarande integral.

Om ${\displaystyle f(x)\ }$ är positiv, kontinuerlig och avtagande på intervallet ${\displaystyle [1,\infty ]}$ gäller att

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }f(k)\ }$ är konvergent om och endast om ${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\;dx\ }$ är det

Bevis

Eftersom f(x) är avtagande gäller ${\displaystyle f(x)\leq f(k)\ }$ om ${\displaystyle x\geq k\ }$. Alltså gäller

${\displaystyle \int _{k}^{k+1}f(x)\;dx\leq \int _{k}^{k+1}f(k)\;dx=\left[f(k)\cdot x\right]_{k}^{k+1}=f(k).}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\;dx=\sum _{k=1}^{\infty }\int _{k}^{k+1}f(x)\;dx\leq \sum _{k=1}^{\infty }f(k)}$

Dvs om serien är konvergent är integralen konvergent

På samma sätt gäller

${\displaystyle \int _{k}^{k+1}f(x)\;dx\geq \int _{k}^{k+1}f(k+1)\;dx=\left[f(k+1)\cdot x\right]_{k}^{k+1}=f(k+1).}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\;dx=\sum _{k=1}^{\infty }\int _{k}^{k+1}f(x)\;dx\geq \sum _{k=1}^{\infty }f(k+1)=\left(\sum _{k=1}^{\infty }f(k)\right)-f(1)}$

Dvs om integralen är konvergent är serien konvergent

Alltså är serien konvergent om och endast om integralen är konvergent

Exempel

Den harmoniska serien

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\ldots }$ är konvergent om och endast om ${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\;dx\ }$ är det. Detta är dock inte fallet, eftersom

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\;dx=\left[\ln x\right]_{1}^{\infty }=\infty \ }$