Mollweides projektion

Mollweides projektion är en kartprojektion, en typ av ytriktig oäkta cylinderprojektion där meridianerna har elliptisk form. Projektionen härstammar från arbeten om ytriktiga kartprojektioner av Karl Brandan Mollweide (1774-1825), en tysk astronom, matematiker och professor i Leipzig 1811.

Projektionen är:

x = 2 2 π λ cos ⁡ ( θ ) {\displaystyle x={\frac {2{\sqrt {2}}}{\pi }}\lambda \cos \left(\theta \right)}
y = 2 sin ⁡ ( θ ) {\displaystyle y={\sqrt {2}}\sin \left(\theta \right)}

där θ {\displaystyle \theta \,} är en hjälpvinkel som är definierad av:

2 θ + sin ⁡ ( 2 θ ) = π sin ⁡ ( ϕ ) ( 1 ) {\displaystyle 2\theta +\sin(2\theta )=\pi \sin(\phi )\qquad (1)}

och λ {\displaystyle \,\lambda } är longituden från centrummeridianen, och ϕ {\displaystyle \,\phi } är latituden.

Ekvation (1) kan lösas iterativt (men långsamt vid polerna) med Newton–Raphson iteration:

δ θ ′ = − ( θ ′ + sin ⁡ ( θ ′ ) − π sin ⁡ ( ϕ ) ) 1 + cos ⁡ ( θ ′ ) . {\displaystyle \delta \theta '={\frac {-(\theta '+\sin(\theta ')-\pi \sin(\phi ))}{1+\cos(\theta ')}}.}

Vid första iterationen kan ϕ {\displaystyle \,\phi } användas som startvärde på θ ′ {\displaystyle \,\theta '}

Slutligt värde på θ {\displaystyle \,\theta } beräknas sedan med ekvationen:

θ = θ ′ 2 . {\displaystyle \theta ={\frac {\theta '}{2}}.}


Källor

  • Svensk uppslagsbok.. band 15, spalt 971 och band 20, spalt 112 (2., omarb. och utvidgade uppl.). Malmö. 1947-1955. Libris 11112 

Externa länkar

  • Lantmäteriet - Kartprojektioner
  • [1]