Multinomialsatsen

Multinomialsatsen är, inom matematik, en generalisering av binomialsatsen och är en framställning av ett multinom ${\displaystyle (a_{1}+\cdots +a_{m})^{n}}$ som en summa av potenser i talen ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{m}}$.

Satsens lydelse

Låt ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}}$ vara godtyckliga reella eller komplexa tal och ${\displaystyle n}$ ett godtyckligt naturligt tal. Då kan potensen ${\displaystyle (a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{m})^{n}}$ framställas som följande summa:

${\displaystyle (a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}\,{\binom {n}{k_{1},\dots ,k_{m}}}\,a_{1}^{k_{1}}\cdots a_{m}^{k_{m}}.}$

Summasymbolen ${\displaystyle \sum _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}}$ indikerar att man skall summera över alla multipler ${\displaystyle (k_{1},\dots ,k_{m})}$ av naturliga tal sådana att deras summa ${\displaystyle k_{1}+\cdots +k_{m}=n.}$ Symbolen

${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},\dots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\cdots k_{m}!}}}$

där ${\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot \cdots \cdot n}$ (se fakultet), kallas multinomialkoefficient och är en generalisering av binomialkoefficienten ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$.

Exempel: Trinom

Trinomet ${\displaystyle (a_{1}+a_{2}+a_{3})^{2}}$ kan beräknas direkt genom utveckling av kvadraten eller genom användning av multinomialsatsen.

Multinomialsatsen kräver tripler ${\displaystyle (k_{1},k_{2},k_{3})}$ där komponenterna ${\displaystyle k_{1}}$,${\displaystyle k_{2}}$ och ${\displaystyle k_{3}}$ är heltal i mängden ${\displaystyle \{0,1,2\}}$ sådana att deras summa är ${\displaystyle k_{1}+k_{2}+k_{3}=2.}$ De möjliga triplerna är ${\displaystyle (1,1,0),\;(1,0,1),\;(0,1,1),\;(0,0,2),\;(0,2,0)}$ och ${\displaystyle (2,0,0)}$.

Det kan noteras att problemet att bestämma de möjliga triplerna är identiskt med problemet att finna antalet sätt att skriva talet 2 som en summa av tre naturliga tal. Den generella multinomialsatsen kräver en lösning till problemet att bestämma antalet sätt som det naturliga talet n kan skrivas som en summa av m naturliga tal.

Multinomialkoefficienterna associerade med de olika triplerna ovan är

${\displaystyle {\binom {2}{1,1,0}}={\frac {2!}{1!1!0!}}=2={\binom {2}{1,0,1}}={\binom {2}{0,1,1}}}$

och

${\displaystyle {\binom {2}{0,0,2}}={\frac {2!}{0!0!2!}}=1={\binom {2}{0,2,0}}={\binom {2}{2,0,0}}.}$

Multinomialsatsen ger oss potensen ${\displaystyle (a_{1}+a_{2}+a_{3})^{2}}$ som summan

${\displaystyle {\binom {2}{2,0,0}}a_{1}^{2}\,a_{2}^{0}\,a_{3}^{0}+{\binom {2}{0,2,0}}a_{1}^{0}\,a_{2}^{2}\,a_{3}^{0}+{\binom {2}{0,0,2}}a_{1}^{0}\,a_{2}^{0}\,a_{3}^{2}+{\binom {2}{1,1,0}}a_{1}^{1}a_{2}^{1}a_{3}^{0}+}$

${\displaystyle +{\binom {2}{1,0,1}}a_{1}^{1}\,a_{2}^{0}\,a_{3}^{1}+{\binom {2}{0,1,1}}a_{1}^{0}\,a_{2}^{1}\,a_{3}^{1},}$

vilket, med de beräknade multinomialkoefficienterna, är

${\displaystyle a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+2\,a_{1}\,a_{2}+2\,a_{1}\,a_{3}+2\,a_{2}\,a_{3}.}$