Tangens hyperbolicus

Den prickade blå kurvan visar tanh.

Tangens hyperbolicus eller tanh är en hyperbolisk funktion. Den är den hyperboliska mostvarigheten till tangensfunktionen. Tanh är en udda funktion.

Definition:

tanh ⁡ x = sinh ⁡ x cosh ⁡ x = e x − e − x e x + e − x {\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}}

Derivatan av tanh:

d d x tanh ⁡ ( x ) = 1 − tanh 2 ⁡ ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh(x)=1-\tanh ^{2}(x)\,}

Tangens hyperbolicus har en äkta invers, arctanh:

tanh − 1 z = 1 2 ln ⁡ 1 + z 1 − z . {\displaystyle \tanh ^{-1}\,z={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+z}{1-z}}.}