Vieta formülleri

Matematik'te, özellikle de cebirde, François Viète'nin adıyla anılan Viète'nin formülleri, bir polinomun kökleriyle katsayıları arasındaki ilişkiyi veren formüllerdir.

Vieta formülleri

Eğer

P ( X ) = a n X n + a n − 1 X n − 1 + ⋯ + a 1 X + a 0 {\displaystyle P(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}}

derecesi n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} olacak şekilde bir polinom ve bu polinomun katsayıları karmaşık sayılardan oluşuyorsa (yani a 0 , a 1 , … , a n − 1 , a n {\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1},a_{n}} sayıları kompleks ve a n {\displaystyle a_{n}} sıfırdan farklı), Cebirin Temel Teoremi'ne göre P ( X ) {\displaystyle P(X)} n {\displaystyle n} (farklı ya da çakışık) karmaşık köke sahiptir, bu kökler: x 1 , x 2 , … , x n . {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}.} Bu kökler ve katsayılar arasındaki Viète Formülleri aşağıdaki gibidir:

{ x 1 + x 2 + ⋯ + x n − 1 + x n = − a n − 1 a n ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + ⋯ + x 1 x n ) + ( x 2 x 3 + x 2 x 4 + ⋯ + x 2 x n ) + ⋯ + x n − 1 x n = a n − 2 a n ⋮ x 1 x 2 … x n = ( − 1 ) n a 0 a n . {\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}={\tfrac {-a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\\vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {a_{0}}{a_{n}}}.\end{cases}}}

Anlamı, P ( X ) {\displaystyle P(X)} 'in k {\displaystyle k} tane farklı köklerinin oluşturduğu tüm altkümelerinin çarpımı ( − 1 ) k a n − k / a n {\displaystyle (-1)^{k}a_{n-k}/a_{n}} 'ya eşittir, diğer bir deyişle (köklerin oluşturduğu her altkümenin bir defa kullanılmasının garantilemek için, çarpımlarını artan indise göre sıralayarak):

∑ 1 ≤ i 1 < i 2 < ⋯ < i k ≤ n x i 1 x i 2 ⋯ x i k = ( − 1 ) k a n − k a n {\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}}

şeklinde her k = 1 , 2 , … , n . {\displaystyle k=1,2,\dots ,n.} yazabiliriz.

İkinci dereceden bir bilinmeyenli cebirsel bir denklemin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişki

İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler genel olarak P ( X ) = a X 2 + b X + c {\displaystyle P(X)=aX^{2}+bX+c} şeklinde ifade edilebilir. Vièta'ya göre, P ( X ) = 0 {\displaystyle P(X)=0} denkleminin kökleri x 1 {\displaystyle x_{1}} ve x 2 {\displaystyle x_{2}} için kökler toplamı ve kökler çarpımı aşağıdaki kuralları sağlamaktadır:

x 1 + x 2 = − b a , x 1 x 2 = c a . {\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}.}

Bu denklemlerden ilki P nin minimum ya da maksimum değerlerini bulmada kullanılabilir.

Vieta formüllerinin ispatı

Viète'nin Formülleri aşağıdaki eşitliği yazıp, polinomların eşitliği kullanılarak gösterilebilir: a n X n + a n − 1 X n − 1 + ⋯ + a 1 X + a 0 = a n ( X − x 1 ) ( X − x 2 ) ⋯ ( X − x n ) {\displaystyle a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}=a_{n}(X-x_{1})(X-x_{2})\cdots (X-x_{n})}

( x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} bu polinomun kökleri olduğu için denklemin sağındaki ifade doğrudur), sağ taraftaki ifadeleri çarpı, X . {\displaystyle X.} 'in aynı dereceli terimlerini bir araya toplayarak gösterebilir.

Ayrıca bakınız

  • Cebirsel Denklem Çözümleri ve Vieta Formülleri[ölü/kırık bağlantı]
  • en:Viete (İngilizce)
  • en:Second Degree Polynomial (İngilizce)
  • en:Rational root theorem (İngilizce)
  • en:Fundamental theorem of algebra (İngilizce)

Kaynakça

  • Erzen, Ömer R. (2008). Cebirsel Bir Denklemin Kökleriyle Katsayıları Arasındaki Iliskinin Incelenmesi, 19 sf., Çukurova Üniversitesi, Adana.
  • Vinberg, E. B. (2003). A course in algebra. American Mathematical Society, Providence, R.I.
  • Djukić, Dušan, et al. (2006). The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959-2004. Springer, New York, NY.