Danh sách tích phân với hàm mũ

Dưới đây là danh sách các tích phân với hàm mũ.

∫ e c x d x = 1 c e c x {\displaystyle \int e^{cx}\;dx={\frac {1}{c}}e^{cx}}
∫ a c x d x = 1 c ln ⁡ a a c x ( a > 0 ,   a ≠ 1 ) {\displaystyle \int a^{cx}\;dx={\frac {1}{c\ln a}}a^{cx}\qquad {\mbox{(}}a>0,{\mbox{ }}a\neq 1{\mbox{)}}}
∫ x e c x d x = e c x c 2 ( c x − 1 ) {\displaystyle \int xe^{cx}\;dx={\frac {e^{cx}}{c^{2}}}(cx-1)}
∫ x 2 e c x d x = e c x ( x 2 c − 2 x c 2 + 2 c 3 ) {\displaystyle \int x^{2}e^{cx}\;dx=e^{cx}\left({\frac {x^{2}}{c}}-{\frac {2x}{c^{2}}}+{\frac {2}{c^{3}}}\right)}
∫ x n e c x d x = 1 c x n e c x − n c ∫ x n − 1 e c x d x {\displaystyle \int x^{n}e^{cx}\;dx={\frac {1}{c}}x^{n}e^{cx}-{\frac {n}{c}}\int x^{n-1}e^{cx}dx}
∫ e c x d x x = ln ⁡ | x | + ∑ i = 1 ∞ ( c x ) i i ⋅ i ! {\displaystyle \int {\frac {e^{cx}\;dx}{x}}=\ln |x|+\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(cx)^{i}}{i\cdot i!}}}
∫ e c x d x x n = 1 n − 1 ( − e c x x n − 1 + c ∫ e c x x n − 1 d x ) ( n ≠ 1 ) {\displaystyle \int {\frac {e^{cx}\;dx}{x^{n}}}={\frac {1}{n-1}}\left(-{\frac {e^{cx}}{x^{n-1}}}+c\int {\frac {e^{cx}}{x^{n-1}}}\,dx\right)\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫ e c x ln ⁡ x d x = 1 c e c x ln ⁡ | x | − Ei ( c x ) {\displaystyle \int e^{cx}\ln x\;dx={\frac {1}{c}}e^{cx}\ln |x|-\operatorname {Ei} \,(cx)}
∫ e c x sin ⁡ b x d x = e c x c 2 + b 2 ( c sin ⁡ b x − b cos ⁡ b x ) {\displaystyle \int e^{cx}\sin bx\;dx={\frac {e^{cx}}{c^{2}+b^{2}}}(c\sin bx-b\cos bx)}
∫ e c x cos ⁡ b x d x = e c x c 2 + b 2 ( c cos ⁡ b x + b sin ⁡ b x ) {\displaystyle \int e^{cx}\cos bx\;dx={\frac {e^{cx}}{c^{2}+b^{2}}}(c\cos bx+b\sin bx)}
∫ e c x sin n ⁡ x d x = e c x sin n − 1 ⁡ x c 2 + n 2 ( c sin ⁡ x − n cos ⁡ x ) + n ( n − 1 ) c 2 + n 2 ∫ e c x sin n − 2 ⁡ x d x {\displaystyle \int e^{cx}\sin ^{n}x\;dx={\frac {e^{cx}\sin ^{n-1}x}{c^{2}+n^{2}}}(c\sin x-n\cos x)+{\frac {n(n-1)}{c^{2}+n^{2}}}\int e^{cx}\sin ^{n-2}x\;dx}
∫ e c x cos n ⁡ x d x = e c x cos n − 1 ⁡ x c 2 + n 2 ( c cos ⁡ x + n sin ⁡ x ) + n ( n − 1 ) c 2 + n 2 ∫ e c x cos n − 2 ⁡ x d x {\displaystyle \int e^{cx}\cos ^{n}x\;dx={\frac {e^{cx}\cos ^{n-1}x}{c^{2}+n^{2}}}(c\cos x+n\sin x)+{\frac {n(n-1)}{c^{2}+n^{2}}}\int e^{cx}\cos ^{n-2}x\;dx}
∫ x e c x 2 d x = 1 2 c e c x 2 {\displaystyle \int xe^{cx^{2}}\;dx={\frac {1}{2c}}\;e^{cx^{2}}}
∫ 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 / 2 σ 2 d x = 1 2 σ ( 1 + erf x − μ σ 2 ) {\displaystyle \int {1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}}\;dx={\frac {1}{2\sigma }}(1+{\mbox{erf}}\,{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}})}
∫ e x 2 d x = e x 2 ( ∑ j = 0 n − 1 c 2 j 1 x 2 j + 1 ) + ( 2 n − 1 ) c 2 n − 2 ∫ e x 2 x 2 n d x ( n > 0 ) , {\displaystyle \int e^{x^{2}}\,dx=e^{x^{2}}\left(\sum _{j=0}^{n-1}c_{2j}\,{\frac {1}{x^{2j+1}}}\right)+(2n-1)c_{2n-2}\int {\frac {e^{x^{2}}}{x^{2n}}}\;dx\quad (n>0),}
với c 2 j = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ ( 2 j − 1 ) 2 j + 1 = ( 2 j ) ! j ! 2 2 j + 1 . {\displaystyle c_{2j}={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2j-1)}{2^{j+1}}}={\frac {(2j)\,!}{j!\,2^{2j+1}}}.}
∫ − ∞ ∞ e − a x 2 d x = π a {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\sqrt {\pi \over a}}}
∫ 0 ∞ x 2 n e − x 2 / a 2 d x = π ( 2 n ) ! n ! ( a 2 ) 2 n + 1 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-{x^{2}}/{a^{2}}}\,dx={\sqrt {\pi }}{(2n)! \over {n!}}{\left({\frac {a}{2}}\right)}^{2n+1}}

Xem thêm

Tham khảo

Liên kết ngoài

  • Tính biểu thức tích phân
Bài viết này vẫn còn sơ khai. Bạn có thể giúp Wikipedia mở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn.
  • x
  • t
  • s