Sférická soustava souřadnic

Sférická soustava souřadnic (kulová soustava souřadnic) je soustava křivočarých souřadnic v prostoru, v níž jedna souřadnice (označovaná r {\displaystyle r} ) udává vzdálenost bodu od počátku souřadnic, druhá souřadnice (označovaná φ {\displaystyle \varphi } ) udává úhel odklonu průvodiče bodu od osy x {\displaystyle x} a třetí souřadnice (označovaná θ {\displaystyle \theta } ) úhel mezi průvodičem a osou z {\displaystyle z} .

Sférické souřadnice se s mírnou obměnou užívají např. v zeměpisu jako zeměpisné souřadnice.

Sférická soustava souřadnic je obecně vhodná v problémech, které mají sférickou symetrii. Tyto mají zpravidla ve sférických souřadnicích podstatně jednodušší tvar.

Bod ve sférické soustavě souřadnic.

Transformace sférických souřadnic na kartézské:

x = r sin ⁡ θ cos ⁡ φ {\displaystyle x=r\sin {\theta }\cos {\varphi }}
y = r sin ⁡ θ sin ⁡ φ {\displaystyle y=r\sin {\theta }\sin {\varphi }}
z = r cos ⁡ θ {\displaystyle z=r\cos {\theta }\,}

Převod kartézských souřadnic na sférické:

r = x 2 + y 2 + z 2 , {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},}
φ = arctg2 ⁡ ( y , x ) , {\displaystyle \varphi =\operatorname {arctg2} (y,x),}
θ = arccos ⁡ ( z r ) , {\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {z}{r}}\right),}

kde arctg2(x,y) je zobecnění funkce arkus tangens. Úhly volíme v rozsahu 0 ≤ θ ≤ π {\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi } a 0 ≤ φ < 2 π {\displaystyle 0\leq \varphi <2\pi } .

Jakobián transformace z kartézské do sférické soustavy souřadnic :

J = r 2 sin ⁡ θ {\displaystyle J=r^{2}\sin \theta }


Délka infinitesimální úsečky se spočte jako

d s 2 = d r 2 + r 2 d θ 2 + r 2 sin 2 ⁡ θ   d φ 2 . {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \ \mathrm {d} \varphi ^{2}.}

Objem infinitesimálního elementu prostoru spočteme jako

d V = r 2 sin ⁡ θ d r d φ d θ , {\displaystyle \mathrm {d} V=r^{2}\sin \theta \mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} \theta ,}

takže celkový objem spočteme integrací tohoto výrazu přes dané těleso vyjádřené ve sférických souřadnicích.

Externí odkazy

  • Logo Wikimedia Commons Obrázky, zvuky či videa k tématu sférická soustava souřadnic na Wikimedia Commons
  • Kniha Geometrie/Soustavy souřadnic/Sférická soustava souřadnic ve Wikiknihách
soustavy souřadnic
typy soustav prostorová kartézská soustava souřadnic
rovinné soustavy (2D)
polární • bipolární • biangulární
prostorové soustavy (3D)
sférická • válcová
vícerozměrné soustavy (4D+)
hypersférická
Autoritní data Editovat na Wikidatech