Hitausmomentti

Hitausmomentti eli inertiamomentti (tunnus J tai I) vastaa pyörivässä liikkeessä etenemisliikkeen massaa. Hitausmomentin SI-järjestelmän mukainen yksikkö on kg·m² (kilogramma kertaa metri toiseen). Mitä suurempi kappaleen hitausmomentti on, sitä suurempi momentti vaaditaan, jotta kappale saadaan kiihtymään halutulla kulmakiihtyvyydellä.

Hitausmomentilla (tarkemmin tasopinnan hitausmomentilla) tarkoitetaan joskus lujuusopissa myös jäyhyyttä.

Matemaattinen määritelmä

Etäisyydellä r pyörimisakselista oleva pistemäisen massan m hitausmomentti on

${\displaystyle J=mr^{2}.}$

Useista pienistä massoista koostuvassa systeemissä hitausmomentti on kaikkien yksittäisten massojen aiheuttamien hitausmomenttien summa:

${\displaystyle J=\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}.}$

Jatkuva massajakauma koostuu äärettömästä määrästä pistemäisiä massoja. Kappaleen kokonaishitausmomentti saadaan integroimalla kaikki massat kolmiulotteisen avaruuden yli:

${\displaystyle J=\int r^{2}\,dm,}$

missä ${\displaystyle \scriptstyle dm}$ on tiheysjakauma tilan yli. Koska ${\displaystyle \scriptstyle m=\rho V}$, saadaan

${\displaystyle dm=\rho \,dV.}$

Erilaisten kappaleiden hitausmomentteja

• Massattoman varren päässä oleva pieni kappale: J = mr², jossa r on kohtisuora etäisyys pyörimisakselista ja m kappaleen massa
• Tanko, joka toimii heilurina pyörimisakselin ollessa tangon toisessa päässä, hitausmomentti J = 1/3 · ml², jossa l on tangon pituus
• Tangon, jonka pyörimisakseli on keskipisteessä, hitausmomentti J = 1/12 · ml²
• Ympyrälevyn ja umpinaisen sylinterin hitausmomentti J = 1/2 · mr²
• Ympyrärenkaan ja ohutseinäisen sylinterin hitausmomentti J = mr²
• Umpinaisen pallon hitausmomentti J = 2/5 · mr²
• Ohutseinäisen pallon hitausmomentti J = 2/3 · mr²

Hitausmomenttitensori

Tarkastellaan jäykkää kappaletta, joka koostuu ${\textstyle n}$:stä kappaleesta, joiden massat ovat ${\textstyle m_{\alpha }}$, missä ${\textstyle \alpha =1,2,3,\dotsc ,n}$. Oletetaan, että kappale pyörii hetkellisesti kulmanopeudella ${\textstyle {\vec {\omega }}}$ jonkin kappaleeseen kiinnitetyn pisteen suhteen. Jos tämä kiinnitetty piste liikkuu suoraviivaisesti nopeudella ${\textstyle {\vec {v}}}$ ulkoisen tarkastelijan koordinaatistossa, on minkä tahansa massapisteen nopeus

${\displaystyle {\vec {v}}_{\alpha }={\vec {v}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{\alpha }}$, ^[1]

missä ${\textstyle {\vec {r}}_{\alpha }}$ kyseisen pisteen paikkavektori kappaleen omassa koordinaatistossa. Kappaleen kineettinen energia on tällöin

${\displaystyle K=K_{\text{trans}}+K_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }m_{\alpha }v^{2}+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }m_{\alpha }({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{\alpha })^{2}}$. ^[1]

Koska ristitulon pituuden neliö voidaan kirjoittaa

${\displaystyle \left({\vec {a}}\times {\vec {b}}\right)^{2}=\left({\vec {a}}\times {\vec {b}}\right)\cdot \left({\vec {a}}\times {\vec {b}}\right)=a^{2}b^{2}-\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\right)^{2}}$,

on rotaatioenergia on tällöin

${\displaystyle K_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }m_{\alpha }\left(\omega ^{2}r_{\alpha }^{2}-\left({\vec {\omega }}\cdot {\vec {r}}_{\alpha }\right)^{2}\right)}$. ^[1]

Jaetaan kulmanopeus- ja paikkavektorit komponentteihinsa ${\textstyle {\vec {\omega }}=(\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3})^{\mathbf {T} }}$ ja ${\textstyle {\vec {r}}_{\alpha }=(x_{\alpha ,1},x_{\alpha ,2},x_{\alpha ,3})^{\mathbf {T} }}$. Nyt rotaatioenergia kirjoitetaan muodossa

${\displaystyle K_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }m_{\alpha }\left(\left(\sum _{i}\omega _{i}^{2}\right)\left(\sum _{k}x_{\alpha ,k}^{2}\right)-\left(\sum _{i}\omega _{i}x_{\alpha ,i}\right)\left(\sum _{j}\omega _{j}x_{\alpha ,j}\right)\right)}$.

Kroneckerin deltan avulla vektorien komponenteille pätee ${\textstyle \omega _{i}=\sum _{j}\omega _{j}\delta _{ij}}$, joten:

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\text{rot}}&={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }\sum _{i,j}m_{\alpha }\left(\omega _{i}\omega _{j}\delta _{ij}\left(\sum _{k}x_{\alpha ,k}^{2}\right)-\omega _{i}\omega _{j}x_{\alpha ,i}x_{\alpha ,j}\right)\\&={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}\omega _{i}\omega _{j}\sum _{\alpha }m_{\alpha }\left(\delta _{ij}\sum _{k}x_{\alpha ,k}^{2}-x_{\alpha ,i}x_{\alpha ,j}\right)\end{aligned}}}$

Määritellään ${\textstyle \alpha }$-summan ${\textstyle ij}$:s termi suureeksi ${\textstyle J_{ij}}$, ts.

${\displaystyle J_{ij}=\sum _{\alpha }m_{\alpha }\left(\delta _{ij}\sum _{k}x_{\alpha ,k}^{2}-x_{\alpha ,i}x_{\alpha ,j}\right)}$.

Tällöin rotaatioenergia voidaan kirjoittaa tutumpaan muotoon:

${\displaystyle K_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}J_{ij}\omega _{i}\omega _{j}={\frac {1}{2}}J\omega ^{2}}$,

missä ${\textstyle J}$ on kappaleen hitausmomentti (skalaari). Termejä ${\textstyle J_{ij}}$ on yhdeksän kappaletta ja ne voidaan sijoittaa ${\textstyle 3\times 3}$-matriisin alkioiksi:

${\displaystyle \{\mathbf {J} \}=\left\{{\begin{matrix}\sum _{\alpha }m_{\alpha }(x_{\alpha ,2}^{2}+x_{\alpha ,3}^{2})&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha ,1}x_{\alpha ,2}&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha ,1}x_{\alpha ,3}\\-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha ,2}x_{\alpha ,1}&\sum _{\alpha }m_{\alpha }(x_{\alpha ,1}^{2}+x_{\alpha ,3}^{2})&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha ,2}x_{\alpha ,3}\\-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha ,3}x_{\alpha ,1}&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha ,3}x_{\alpha ,2}&\sum _{\alpha }m_{\alpha }(x_{\alpha ,1}^{2}+x_{\alpha ,2}^{2})\end{matrix}}\right\}}$^[1]

Matriisia ${\textstyle \left\{\mathbf {J} \right\}}$ kutsutaan hitausmomenttitensoriksi ja se on luonteeltaan tensori. Matriisin lävistäjäalkiot ${\textstyle J_{11}}$, ${\textstyle J_{22}}$ ja ${\textstyle J_{33}}$ ovat kappaleen hitausmomentit ${\textstyle x_{1}}$-, ${\textstyle x_{2}}$- ja ${\textstyle x_{3}}$-akselien suhteen.^[1] Jos käytetään koordinaattien ${\textstyle (x_{\alpha ,1},x_{\alpha ,2},x_{\alpha ,3})}$ sijaan karteesisia koordinaatteja ${\textstyle (x_{\alpha },y_{\alpha },z_{\alpha })}$ ja merkitsemällä ${\textstyle r_{\alpha }^{2}=x_{\alpha }^{2}+y_{\alpha }^{2}+z_{\alpha }^{2}}$, tensori ${\textstyle \left\{\mathbf {J} \right\}}$ voidaan kirjoittaa helppokäyttöisempään muotoon:

${\displaystyle \{\mathbf {J} \}=\left\{{\begin{matrix}\sum _{\alpha }m_{\alpha }(r_{\alpha }^{2}-x_{\alpha }^{2})&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha }y_{\alpha }&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha }z_{\alpha }\\-\sum _{\alpha }m_{\alpha }y_{\alpha }x_{\alpha }&\sum _{\alpha }m_{\alpha }(r_{\alpha }^{2}-y_{\alpha }^{2})&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }y_{\alpha }z_{\alpha }\\-\sum _{\alpha }m_{\alpha }z_{\alpha }x_{\alpha }&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }z_{\alpha }y_{\alpha }&\sum _{\alpha }m_{\alpha }(r_{\alpha }^{2}-z_{\alpha }^{2})\end{matrix}}\right\}}$

Hitausmomenttitensori on symmetrinen, ts. ${\textstyle J_{ij}=J_{ji}}$. Hitausmomenttitensorille pätevät samat matriisien yhteenlaskusäännöt, joten mielivaltaisen muotoisen kappaleen hitausmomenttitensori voidaan rakentaa summaamalla sen eri osien hitausmomenttitensorit. Edelleen, jos kappaleen massajakauma on jatkuva siten, että sen tiheys on ${\textstyle \rho =\rho ({\vec {r}})}$, niin

${\displaystyle J_{ij}=\iiint _{V}\rho ({\vec {r}})\left(\delta _{ij}\sum _{k}x_{k}^{2}-x_{i}x_{j}\right)\,\mathrm {d} V}$,

missä ${\textstyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x_{1}\,\mathrm {d} x_{2}\,\mathrm {d} x_{3}}$ on paikkavektorin ${\textstyle {\vec {r}}}$ osoittamassa pisteessä oleva differentiaalinen tilavuusalkio ja ${\textstyle V}$ on kappaleen tilavuus.^[1]

Katso myös

• Liikemäärä
• Pyörimismäärä
• Steinerin sääntö

Lähteet