Średnia geometryczno-harmoniczna

Średnia geometryczno-harmoniczna dwóch liczb rzeczywistych dodatnich ${\displaystyle g}$ i ${\displaystyle h}$ – wspólna granica ciągów ${\displaystyle (g_{n}),(h_{n})}$ określonych rekurencyjnie:

${\displaystyle g_{0}=g,\quad h_{0}=h}$

${\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {g_{n}h_{n}}},\quad h_{n+1}={\frac {2}{{\tfrac {1}{g_{n}}}+{\tfrac {1}{h_{n}}}}}}$

Granica ta istnieje dla dowolnych ${\displaystyle g,}$ ${\displaystyle h}$ rzeczywistych dodatnich, a dowód tego faktu jest analogiczny do dowodu istnienia średniej arytmetyczno-geometrycznej.

Przykład

Aby wyznaczyć średnią geometryczno-harmoniczną liczb ${\displaystyle g_{0}=24}$ i ${\displaystyle h_{0}=6,}$ najpierw należy wyliczyć wartości średnich:

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{1}&={\sqrt {24\cdot 6}}=12\\h_{1}&={\frac {2}{{\tfrac {1}{24}}+{\tfrac {1}{6}}}}=9{,}6\end{aligned}}}$

i dalej rekurencyjnie:

${\displaystyle n}$	${\displaystyle g_{n}}$	${\displaystyle h_{n}}$
0	24	6
1	12	9,6
2	10,733126291999…	10,666666666666…
3	10,699844879622…	10,699793280161…
4	10,699819079861…	10,699819079829…
5	10,699819079845…	10,699819079845…

Własności

Przy oznaczeniach:

• ${\displaystyle AGM(a,b)}$ – średnia arytmetyczno-geometryczna liczb ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b,}$
• ${\displaystyle GHM(a,b)}$ – średnia geometryczno-harmoniczna liczb ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$

zachodzą następujące zależności:

${\displaystyle GHM(x,y)={\frac {1}{AGM({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}})}},}$

${\displaystyle GHM(\lambda a,\lambda b)=\lambda GHM(a,b),\quad {}{\text{dla}}\;\lambda >0,}$

${\displaystyle \min(x,y)\leqslant {\frac {2}{{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}\leqslant GHM(x,y)\leqslant {\sqrt {xy}}\leqslant AGM(x,y)\leqslant {\frac {x+y}{2}}\leqslant \max(x,y).}$

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Harmonic-Geometric Mean, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-13]  (ang.).