Całka podwójna to całka po dwóch zmiennych z funkcji dwóch zmiennych
![{\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,y)\;dx\;dy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5bce90b11b8d1066241bb6e63796849a518ba7d)
Całka ta ma interpretację objętości zawartej między płaszczyzną
a powierzchnią
Jest szczególnym przypadkiem całki wielokrotnej.
Zamiana na całkę iterowaną
Jeżeli
jest obszarem normalnym względem osi OX, tzn.
to
![{\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,y)\;dx\;dy=\int \limits _{a}^{b}{\bigg (}\int \limits _{g(x)}^{h(x)}f(x,y)\;dy{\bigg )}\;dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b42451ff0a597f67a07227931343ad204a16f35)
Analogicznie zamieniamy na całkę iterowaną całkę po obszarze normalnym względem osi OY. (Prostokąt jest obszarem normalnym zarówno względem osi OX, jak i OY). Jeżeli obszar
nie jest obszarem normalnym, dzielimy go na obszary normalne.
Zamiana zmiennych
Załóżmy, że obszar regularny domknięty
jest obrazem obszaru regularnego domkniętego
we wzajemnie jednoznacznym przekształceniu
![{\displaystyle \Phi =\{x=x(u,v),\ y=y(u,v)\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ba3aa8c6287c11f8f5f621083951f424a279a16)
- które jest klasy C1 w pewnym obszarze zawierającym obszar
oraz - którego jakobian
jest różny od zera wewnątrz ![{\displaystyle \Omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9e6a34b6c6b77b92a65f692aad0f65b10f5bf26)
zaś
jest dowolną funkcją ciągłą w
Wtedy
![{\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,y)\;dx\;dy=\iint \limits _{\Omega }f(x(u,v),\ y(u,v))|J|\;du\;dv.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b922b553c257d49cb6576beab4ffc1b98d011fd)
Uwaga.
oznacza wartość bezwzględną jakobianu, zaś
oznaczają pochodne cząstkowe.
Zobacz też
| Zobacz publikację Analiza matematyczna/Całka podwójna w Wikibooks |
Całki wielowymiarowe
- analiza wielowymiarowa
- teoria miary
typy | |
---|
twierdzenia | - Fubiniego
- Greena
- Ostrogradskiego-Gaussa
- Stokesa
|
---|
powiązane pojęcia | |
---|
uczeni | |
---|