Dwunastościan foremny

Dwunastościan foremny a. dodekaedr (z gr.) – wielościan foremny o 12 ścianach w kształcie przystających pięciokątów foremnych^[1]. Ma 30 krawędzi i 20 wierzchołków. Ścinając wierzchołki dwunastościanu otrzymujemy wielościan półforemny o nazwie dwunastościan ścięty. Bryła oznaczona jest symbolem Schläfliego {5,3}^[2][3].

Wzory i własności

W poniższych wzorach ${\displaystyle a}$ oznacza długość krawędzi dwunastościanu foremnego.

• Pole powierzchni całkowitej^[2][3]:

${\displaystyle S=3\ a^{2}\ {\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}\approx 20{,}6457\ a^{2}}$

• Objętość^[2][3]:

${\displaystyle V={\frac {1}{4}}\ a^{3}\ (15+7{\sqrt {5}})\approx 7{,}6613\ a^{3}}$

• Apoloniusz z Pergi wykazał, że dla dwudziestościanu foremnego i dwunastościanu foremnego opartych o wpisane kule o takim samym promieniu zachodzi zależność^[2]:

${\displaystyle {\frac {V_{20}}{V_{12}}}={\frac {S_{20}}{S_{12}}}={\sqrt {{\frac {3}{10}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}$

gdzie ${\displaystyle V_{n},\;S_{n}}$ oznacza odpowiednio objętość i pole powierzchni ${\displaystyle n}$-ścianu foremnego.

• Promień kuli wpisanej^[2][3]:

${\displaystyle r={\frac {a}{20}}{\sqrt {10(25+11{\sqrt {5}})}}\approx 1{,}1135\ a}$

• Promień kuli stycznej do krawędzi^[2][3]:

${\displaystyle \delta ={\frac {a(3+{\sqrt {5}})}{4}}}$

• Promień kuli opisanej^[2][3]:

${\displaystyle R={\frac {a}{4}}\ {\sqrt {3}}\ (1+{\sqrt {5}})\approx 1{,}4013\ a}$

• Kąt między sąsiednimi ścianami^[2]:

${\displaystyle \alpha =\arccos \left(-{\frac {\sqrt {5}}{5}}\right)\approx 116{,}6^{\circ }}$

• Grupa symetrii^[2]:

I_h

Zobacz też

• dwunastościan ścięty

Przypisy