Dylatacja

Ten artykuł dotyczy przekształcenia geometrycznego. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Dylatacja – przekształcenie geometryczne, przeprowadzające dowolną prostą na prostą do niej równoległą. Inaczej mówiąc, jest to kolineacja, w której każda prosta jest równoległa do swojego obrazu[1].

Własności

  • Dwa dane odcinki A B {\displaystyle AB} i A ′ B ′ , {\displaystyle A'B',} leżące na prostych równoległych, określają dokładnie jedną dylatację A B → A ′ B ′ , {\displaystyle AB\to A'B',} dla której obrazem punktu A {\displaystyle A} jest punkt A ′ , {\displaystyle A',} a obrazem punktu B {\displaystyle B} jest punkt B ′ {\displaystyle B'} [2].
  • Odwrotność dylatacji A B → A ′ B ′ {\displaystyle AB\to A'B'} jest dylatacją A ′ B ′ → A B {\displaystyle A'B'\to AB} [3].
  • Dylatacja A B → A B {\displaystyle AB\to AB} jest przekształceniem tożsamościowym (czyli identycznością). Dylatacja A B → B A {\displaystyle AB\to BA} jest półobrotem, czyli symetrią środkową (dokoła środka odcinka AB). Jeżeli czworokąt A B B ′ A ′ {\displaystyle ABB'A'} jest równoległobokiem, to dylatacja A B → A ′ B ′ {\displaystyle AB\to A'B'} jest translacją (czyli przesunięciem równoległym)[3].
  • Jeżeli dylatacja ma punkt stały, to obrazem prostej przechodzącej przez ten punkt jest ta sama prosta.
  • Każda dylatacja, która nie jest przesunięciem równoległym ma punkt stały, a jeśli nie jest identycznością, to jest to jedyny jej punkt stały[3].
  • Jeżeli punkt P {\displaystyle P} i jego obraz dylatacyjny P ′ {\displaystyle P'} nie pokrywają się (tzn. P {\displaystyle P} nie jest stały), to obrazem prostej P P ′ {\displaystyle PP'} jest ona sama.
  • Jeżeli dwie proste pokrywają się ze swoimi obrazami, to ich przecięcie (o ile istnieje) jest punktem stałym.

Z własności tych wynika klasyfikacja dylatacji ze względu na liczbę punktów stałych:

  • Jeżeli dylatacja ma co najmniej dwa różne punkty stałe, to jest identycznością,
  • Jeżeli dylatacja ma dokładnie jeden punkt stały, to jest jednokładnością,
  • Jeżeli dylatacja nie ma punktu stałego, to jest translacją.

Zbiór dylatacji jest grupą ze względu na ich składanie i podgrupą grupy podobieństw parzystych.

Niezmiennik definiujący grupę dylatacji:

  • kierunek wektora.

Ważniejsze niezmienniki dylatacji:

  • orientacja,
  • stosunek długości wektorów,
  • stosunek pól figur,
  • stosunek objętości figur,
  • współliniowość punktów.

Zobacz też

  • kolineacja
  • podobieństwo

Przypisy

  1. ↑ H.S.M. Coxeter: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967, s. 212.
  2. ↑ H.S.M. Coxeter: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967, s. 85, 212.
  3. ↑ a b c H.S.M. Coxeter: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967, s. 85.

Bibliografia

  • Marek Kordos, Lesław Włodzimierz Szczerba: Geometria dla nauczycieli. Warszawa: PWN, 1976.
  • H.S.M. Coxeter: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.
  • M. Berger: Геометрия (tłum. ros.). Moskwa: Мир, 1984.
  • A.M. Комиссарук: Аффинная геометрия. Минсκ: Вышэйшая школа, 1977.