Dziedzina całkowitości

Dziedzina całkowitości, pierścień całkowity^[1] – pierścień spełniający cztery warunki – jest:

• niezerowy,
• przemienny,
• z jedynką,
• pozbawiony (właściwych) dzielników zera.

Pierścienie te są uogólnieniem pierścienia liczb całkowitych i stanowią one naturalny kontekst do badania podzielności ze względu na dość regularne reguły przeprowadzania rachunków; najistotniejszą ich własnością jest tzw. prawo skracania.

Nieprzemienne dziedziny całkowitości nazywa się dziedzinami, wiele pozycji jednak się nimi nie zajmuje (ograniczając się do klasy pierścieni przemiennych), nazywając dziedziny całkowitości w skrócie również dziedzinami. Inną nazwą dziedziny całkowitości, pochodzącą od Langa^{[potrzebny przypis]}, jest pierścień całkowity.

Własności

• Niech ${\displaystyle R}$ będzie dziedziną całkowitości. Jeżeli ${\displaystyle a,b,c\in R,}$ przy czym ${\displaystyle c\neq 0,}$ to zachodzi własność skracania:

jeśli ${\displaystyle ac=bc,}$ to ${\displaystyle a=b.}$

Dowód: Niech ${\displaystyle c\neq 0.}$ Jeśli ${\displaystyle ac=bc,}$ to ${\displaystyle ac-bc=0,}$ czyli ${\displaystyle (a-b)c=0.}$ Ale w pierścieniu ${\displaystyle R}$ nie ma dzielników zera, więc ${\displaystyle a-b=0.}$ Stąd ${\displaystyle a=b.}$

• Każde ciało jest dziedziną całkowitości.
  Dowód: Zbiór niezerowych elementów ciała jest grupą, tzn. iloczyn niezerowych elementów jest różny od zera.
• Każda skończona dziedzina całkowitości jest ciałem.
  Dowód: Wystarczy wykazać, że dowolny niezerowy element jest odwracalny. Rozważmy dla danego elementu ${\displaystyle a\neq 0}$ jego iloczyny ze wszystkimi ${\displaystyle n}$ elementami pierścienia: ${\displaystyle aa_{1},aa_{2},\dots ,aa_{n}.}$ Gdyby wśród nich nie było jedynki, to pewien element występowałby dwa razy (co najmniej) dla iloczynów z różnymi elementami, np. ${\displaystyle aa_{i}=aa_{j}}$ dla pewnych ${\displaystyle i\neq j.}$ Ale z własności skracania wynika ${\displaystyle a_{i}=a_{j}}$ wbrew temu, że ${\displaystyle a_{i},\ a_{j}}$ są różnymi elementami.

Zobacz też

• dziedzina Euklidesa

Przypisy

Bibliografia

• Jerzy Browkin, Teoria ciał, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977.

Linki zewnętrzne

• Integral domain (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].