Funkcja o wahaniu ograniczonym

Funkcja o wahaniu ograniczonym – w analizie matematycznej jest to funkcja, której zmienność jest, nieformalnie mówiąc, skończona, czyli funkcja nie oscyluje bez ograniczenia.

Przestrzeń wszystkich funkcji określonych na obszarze ${\displaystyle \Omega }$ o wahaniu ograniczonym jest oznaczana przez ${\displaystyle BV(\Omega ).}$

Pojęcie pochodzi od Camille’a Jordana^[1][2].

Funkcje zmiennej rzeczywistej

Definicja

Całkowite wahanie dla funkcji rzeczywistej ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ definiujemy jako odpowiednie supremum:

${\displaystyle \sup _{P}\sum _{i}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|,}$

które jest brane po wszystkich możliwych rozbiciach ${\displaystyle P=\{x_{1},\dotsc ,x_{n}\mid x_{1}<\dotsb <x_{n}\}}$ przedziału ${\displaystyle [a,b].}$ Jeśli wahanie funkcji ${\displaystyle f}$ jest skończone, to powiemy, że jest to funkcja o wahaniu ograniczonym. W przeciwnym wypadku ${\displaystyle f}$ nazwiemy funkcją o wahaniu nieograniczonym^[2].

Przykład

Prostym przykładem funkcji o wahaniu nieograniczonym jest funkcja ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$ dana wzorem ${\displaystyle f(x)=\sin \left({\frac {1}{x}}\right)}$ dla ${\displaystyle x\neq 0}$ oraz ${\displaystyle f(0)=0}$ (jej wykresem jest sinusoida zagęszczona). Przy ${\displaystyle x}$ malejącym do zera iloraz ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$ rośnie coraz szybciej w kierunku nieskończoności, więc sinus dla tego argumentu przejdzie przez nieskończoną liczbę oscylacji, co oznacza nieskończoną liczbę przejść od ${\displaystyle -1}$ do ${\displaystyle 1}$ i z powrotem do ${\displaystyle -1.}$ Pokazuje to obrazek po prawej stronie.

To, że przykładowa funkcja ${\displaystyle f}$ ma wahanie nieograniczone, uzasadnia się wprost z definicji, wystarczy bowiem wziąć ciąg rozbić ${\displaystyle P_{n}=\left\{{\frac {2}{(2n+1)\pi }},\dots ,{\frac {2}{3\pi }},{\frac {2}{\pi }}\right\}}$ i wtedy kolejne sumy

${\displaystyle \sum _{i=2}^{n}\left|f\left({\frac {2}{(2i+1)\pi }}\right)-f\left({\frac {2}{(2i-1)\pi }}\right)\right|}$

są równe ${\displaystyle 2n,}$ co też, z racji możliwości wzięcia dowolnie dużego ${\displaystyle n,}$ daje nieograniczoność wahania funkcji ${\displaystyle f.}$

Powyższa definicja może być również łatwo rozszerzona do opisu wahania funkcji zespolonych o argumentach rzeczywistych.

Funkcje wielu zmiennych

W przypadku funkcji wielu zmiennych, funkcjami o wahaniu ograniczonym nazywamy te funkcje, których pochodnymi w sensie dystrybucyjnymi są skończone miary Radona o wartościach wektorowych.

Definicja

Niech ${\displaystyle \Omega }$ będzie otwartym podzbiorem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Funkcję ${\displaystyle u\in L^{1}(\Omega )}$ nazwiemy funkcją o wahaniu ograniczonym, jeśli jej pochodna w sensie dystrybucji jest skończoną wektorową miarą Radona, czyli istnieje ${\displaystyle Du\in {\mathcal {M}}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$ takie, że

${\displaystyle \int _{\Omega }u(x)\,\operatorname {div} {\varphi }(x)\mathrm {d} x=-\int _{\Omega }\langle \varphi ,Du(x)\rangle \qquad {\text{dla wszystkich }}{\varphi }\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}).}$^[2]

Związek z krzywymi prostowalnymi

Funkcja ciągła ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ może być rozumiana jako droga w przestrzeni metrycznej ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Wówczas ${\displaystyle f}$ jest funkcją o wahaniu ograniczonym wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle f}$ jest krzywą prostowalną, czyli ma skończoną długość.

Związek z teorią miary

W teorii miary, funkcje o wartościach rzeczywistych lub zespolonych o wahaniu ograniczonym są w istocie dystrybuantami miar borelowskich odpowiednio ze znakiem lub zespolonych, to jest funkcjami danymi wzorem:

${\displaystyle F_{\mu }(x)=\mu \left((-\infty ,x]\right)}$

dla ustalonej miary ${\displaystyle \mu }$^[2].

Przypisy

Bibliografia

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. Wyd. 5. Berlin: Springer, 2007. ISBN 978-3-540-49977-0.brak strony w książce
• Gerald Teschl: Topics in Real and Functional Analysis. 2011.brak strony w książce
• Luigi Ambrosio, Nicola Fusco, Diego Pallara: Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems. Oxford: 2000.brak strony w książce