Homomorfizm

Nie mylić z: homeomorfizm.

Homomorfizm (gr. ὅμοιος, homoios – podobny; μορφή, morphē – kształt, forma) – funkcja odwzorowująca jedną algebrę ogólną (np. monoid, grupę, pierścień czy przestrzeń wektorową) w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobie działania, jakie są zdefiniowane w obu algebrach^[1].

Homomorfizm bijektywny, nazywa się izomorfizmem algebr i z punktu widzenia algebry oznacza ich identyczność.

Ogólna definicja homomorfizmu

Niech ${\displaystyle {\mathcal {A}}=(A;g_{1},\dots ,g_{n})}$ i ${\displaystyle {\mathcal {B}}=(B;h_{1},\dots ,h_{n})}$ oznaczają algebry ogólne tego samego typu (monoidy, grupy, pierścienie itp.), gdzie:

• ${\displaystyle A,B}$ są zbiorami,
• ${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{n}}$ są działaniami zdefiniowanymi na elementach zbioru ${\displaystyle A,}$ (np. +, *, potęgowanie itp.),
• ${\displaystyle h_{1},\dots ,h_{n}}$ są działaniami zdefiniowanymi na elementach zbioru ${\displaystyle B,}$ odpowiadającymi działaniom w zbiorze ${\displaystyle A,}$
• liczby argumentów ${\displaystyle a(g_{i})}$ działania ${\displaystyle g_{i}}$ są równe liczbie argumentów ${\displaystyle a(h_{i})}$ działania ${\displaystyle h_{i},}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n.}$

Funkcja ${\displaystyle f\colon A\to B}$ przekształcającą zbiór ${\displaystyle A}$ w zbiór ${\displaystyle B}$ jest homomorfizmem algebry ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ w algebrę ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ jeśli dla wszystkich odpowiadających sobie działań ${\displaystyle g_{i}}$ oraz ${\displaystyle h_{i}}$ i dla każdego ciągu ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{a(g_{i})})}$ elementów zbioru ${\displaystyle A}$ zachodzi równość:

${\displaystyle f[g_{i}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{a(g_{i})})]=h_{i}[(f(x_{1}),f(x_{2}),\dots ,f(x_{a(h_{i})})].}$

O funkcji ${\displaystyle f}$ mówi się, że przeprowadza każde działanie ${\displaystyle g_{i}}$ w odpowiadające mu działanie ${\displaystyle h_{i}.}$

Rodzaje homomorfizmów

Homomorfizm, który jest:

• iniekcją, nazywamy monomorfizmem,
• suriekcją, nazywamy epimorfizmem,
• bijekcją, nazywamy izomorfizmem (zatem każdy monomorfizm będący jednocześnie epimorfizmem jest izomorfizmem),
• odwzorowaniem struktury w samą siebie nazywamy endomorfizmem,
• wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem struktury w samą siebie (tzn. będący jednocześnie izomorfizmem i endomorfizmem), nazywamy automorfizmem.

Typy homomorfizmów

Każdy typ struktury algebraicznej posiada swój własny typ homomorfizmu, czyli istnieją:

• homomorfizm grup,
• homomorfizm pierścieni,
• homomorfizm przestrzeni liniowych,
• homomorfizm modułów.

Homomorfizm grup

Niech ${\displaystyle \mathrm {G} =(G,+,0)}$ oraz ${\displaystyle \mathrm {H} =(H,\oplus ,\theta )}$ oznaczają grupy w zapisie addytywnym (niekoniecznie abelowe).

Odwzorowanie ${\displaystyle f}$ nazywamy homomorfizmem grupy ${\displaystyle \mathrm {G} }$ w grupę ${\displaystyle \mathrm {H} }$ jeżeli spełnione są warunki:

a) ${\displaystyle f\colon G\to H,}$

tzn. ${\displaystyle f}$ jest funkcją ze zbioru ${\displaystyle G}$ w zbiór ${\displaystyle H,}$

b) ${\displaystyle \forall _{a,\;b\in G}\;f(a+b)=f(a)\oplus f(b),}$

tzn. wynik działania ${\displaystyle +}$ wykonanego na wszystkich parach elementów ${\displaystyle a,b}$ zbioru ${\displaystyle G}$ i następnie odwzorowany do zbioru ${\displaystyle H}$ za pomocą funkcji ${\displaystyle f}$ jest równy wynikowi działania ${\displaystyle \oplus }$ wykonanego na obrazach ${\displaystyle f(a),}$ ${\displaystyle f(b)}$ elementów ${\displaystyle a,b}$ (wynik ten jest na pewno elementem zbioru ${\displaystyle H,}$ ponieważ operacja ${\displaystyle \oplus }$ jest działaniem w ${\displaystyle H}$).

Mówimy, że homomorfizm przeprowadza działanie grupowe ${\displaystyle +}$ na działanie ${\displaystyle \oplus .}$

Twierdzenie

Tw. Jeżeli ${\displaystyle f}$ jest homomorfizmem ${\displaystyle f\colon G\to H,}$ to

a) ${\displaystyle f}$ przekształca element neutralny działania ${\displaystyle +}$ w ${\displaystyle \mathrm {G} }$ na element neutralny działania ${\displaystyle \oplus }$ w ${\displaystyle \mathrm {H} ,}$ tzn.

${\displaystyle f(0)=\theta ,}$

b) ${\displaystyle f}$ przekształca element odwrotny działania ${\displaystyle +}$ w ${\displaystyle \mathrm {G} }$ na element odwrotny działania ${\displaystyle \oplus }$ w ${\displaystyle \mathrm {H} ,}$ tzn.

${\displaystyle \forall _{a\in G}\;f(-a)=\ominus f(a),}$

gdzie ${\displaystyle -a}$ oznacza element przeciwny do elementu ${\displaystyle a}$ w ${\displaystyle \mathrm {G} ,}$ zaś ${\displaystyle \ominus f(a)}$ oznacza element przeciwny do ${\displaystyle f(a)}$ w ${\displaystyle \mathrm {H} .}$

Przykłady

Homomorfizm pierścieni

(1) Rozważmy dwa pierścienie:

a) pierścień ${\displaystyle \mathbb {R} }$ liczb rzeczywistych z działaniami dodawania liczb i mnożenia liczb,

b) pierścień ${\displaystyle \mathbb {M_{22}} }$ macierzy 2×2 (tj. zbiór macierzy 2×2) z działaniami dodawania macierzy i mnożenia macierzy.

(2) Definiujemy funkcję ze zbioru ${\displaystyle \mathbb {R} }$ na zbiór macierzy ${\displaystyle \mathbb {M_{22}} }$

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {M} _{22},}$${\displaystyle f(r)={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}.}$

(3) Funkcja ${\displaystyle f}$ jest homomorfizmem powyższych pierścieni, gdyż:

1) zachowuje dodawanie przy przejściu z jednego pierścienia do drugiego

${\displaystyle f(r+s)={\begin{pmatrix}r+s&0\\0&r+s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)+f(s),}$

2) zachowuje mnożenie

${\displaystyle f(r\cdot s)={\begin{pmatrix}r\cdot s&0\\0&r\cdot s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)\cdot f(s),}$

3) element neutralny dodawania w ${\displaystyle \mathbb {R} }$ przechodzi w element neutralny dodawania macierzy

${\displaystyle f(0)={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},}$

4) element neutralny mnożenia w ${\displaystyle \mathbb {R} }$ przechodzi w element neutralny mnożenia macierzy

${\displaystyle f(1)={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Z powyższych własności wynika, że funkcja ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {M} _{22}}$ jest homomorfizmem ze zbioru ${\displaystyle \mathbb {R} }$ do zbioru ${\displaystyle \mathbb {M} _{22}.}$

Ponadto:

5) funkcja ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {M} _{22}}$ jest injekcją (funkcją różnowartościową), gdyż każdym dwóm elementom ze zbioru ${\displaystyle \mathbb {R} }$ odpowiadają dokładnie dwa różne elementy ze zbioru ${\displaystyle \mathbb {M} _{22}.}$ Z powyższych własności wynika, że funkcja ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {M} _{22}}$ jest monomorfizmem zbiorów ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oraz ${\displaystyle \mathbb {M} _{22}.}$

Brak homomorfizmu pierścieni

Zbiory ${\displaystyle \mathbb {C} }$ oraz ${\displaystyle \mathbb {R} }$ są pierścieniami z działaniami dodawania i mnożenia liczb. Rozważmy funkcję ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {R} ,}$ która przypisuje liczbie zespolonej jej moduł, tj.

${\displaystyle f(z)=|z|}$

Funkcja ta nie jest homomorfizmem, gdyż na ogół nie zachowuje dodawania, tj. na ogół

${\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\neq |z_{1}|+|z_{2}|.}$

Np. niech ${\displaystyle z_{1}=3,}$ ${\displaystyle z_{2}=4i.}$ Wtedy mamy:

${\displaystyle |z_{1}|=3,|z_{2}|=4,}$

ale

${\displaystyle |3+4i|=5.}$

Homomorfizm grup

Jeżeli ograniczymy odpowiednio wyżej omawiane zbiory, to możemy zdefiniować homomorfizm grup.

(1) Rozważmy zbiory niezerowych liczb zespolonych ${\displaystyle \mathbb {C} _{\neq 0}=\mathbb {C} -\{0\}}$ oraz niezerowych liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} _{\neq 0}=\mathbb {R} -\{0\}.}$ Zbiory te tworzą grupy z działaniami mnożenia liczb.

(2) Definiujemy funkcję ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} _{\neq 0}\to \mathbb {R} _{\neq 0},}$ która przypisuje liczbie zespolonej jej moduł (który jest liczbą rzeczywistą)

${\displaystyle f(z)=|z|.}$

(3) Funkcja ${\displaystyle f}$ jest homomorfizmem z ${\displaystyle \mathbb {C} _{\neq 0}}$ w ${\displaystyle \mathbb {R} _{\neq 0},}$ gdyż odtwarza działanie mnożenia w ${\displaystyle \mathbb {R} _{\neq 0},}$ tj.

${\displaystyle f(z_{1}\cdot z_{2})=|z_{1}\cdot z_{2}|=|z_{1}|\cdot |z_{2}|=f(z_{1})\cdot f(z_{2}).}$

Homomorfizm monoidów

1) Niech ${\displaystyle f}$ będzie funkcją z monoidu liczb naturalnych z działaniem dodawania (N, +, 0) do monoidu liczb naturalnych z działaniem mnożenia (N, *, 1), taką że:

${\displaystyle f(n)=2^{n}.}$

Funkcja ta jest homomorfizmem z (N, +, 0) do (N, *, 1), gdyż

${\displaystyle f(n+m)=f(n)*f(m)}$ oraz ${\displaystyle f(0)=1,}$

tzn.

${\displaystyle 2^{n+m}=2^{n}*2^{m}}$ oraz ${\displaystyle 2^{0}=1,}$

czyli działanie + w pierwszym monoidzie przechodzi na działanie * w drugim, a element neutralny działania + przechodzi na element neutralny działania *.

Homomorfizm ten jest injektywny, ale nie surjektywny (tzn. nie wszystkim elementom monoidu (N, *, 1) będzie przypisany element monoidu (N, +, 0) – zobacz rysunek obok).

2) Niech ${\displaystyle \mathrm {G} }$ oznacza zbiór liczb naturalnych z działaniem dodawania ${\displaystyle +,}$ a ${\displaystyle \mathrm {H} }$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych z działaniem mnożenia *. Homomorfizmem jest np. funkcja wykładnicza ${\displaystyle f(n)=\exp(n).}$ Uzasadnienie jest identyczne jak w poprzednim przykładzie.

Zobacz też

• antyhomomorfizm
• jądro homomorfizmu

Przypisy

Bibliografia

• T. Trajdos, Matematyka, cz. III, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2004, s. 1–27.

Linki zewnętrzne

• Homomorphism (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].