Kryterium Leibniza

Kryterium Leibniza – kryterium zbieżności szeregów naprzemiennych mówiące, że szereg naprzemienny, którego ciąg wyrazów jest nierosnący i zbieżny do 0 , {\displaystyle 0,} jest zbieżny.

Kryterium

Jeżeli ciąg liczbowy ( a n ) n = 1 ∞ {\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }} o wyrazach nieujemnych spełnia następujące warunki:

  1. lim n → ∞ a n = 0 , {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0,}
  2. ciąg a n {\displaystyle a_{n}} jest nierosnący,

to szereg

∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}}

jest zbieżny[1].

Dowód

Zgodnie z założeniem

a 0 ⩾ a 1 ⩾ a 2 ⩾ a 3 ⩾ … ⩾ 0. {\displaystyle a_{0}\geqslant a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant a_{3}\geqslant \ldots \geqslant 0.}

Niech

S m = ∑ n = 0 m ( − 1 ) n a n {\displaystyle S_{m}=\sum _{n=0}^{m}(-1)^{n}a_{n}}

oznacza m {\displaystyle m} -tą sumę częściową rozważanego szeregu.

Podciąg ciągu sum częściowych postaci

( S 2 N − 1 ) N = 1 ∞ {\displaystyle \left(S_{2N-1}\right)_{N=1}^{\infty }}

jest niemalejący i ograniczony z góry, a zatem zbieżny. Istotnie,

S 2 N + 1 − S 2 N − 1 = a 2 N − a 2 N + 1 ⩾ 0 {\displaystyle S_{2N+1}-S_{2N-1}=a_{2N}-a_{2N+1}\geqslant 0}

(ciąg ten jest nierosnący) oraz

S 2 N + 1   = a 0 − a 1 + a 2 − a 3 + … + a 2 N − a 2 N + 1 ⩽ a 0 − a 2 + a 2 − a 4 + … + a 2 N − a 2 N + 2 = a 0 − a 2 N + 2 ⩽ a 0 {\displaystyle S_{2N+1}\ =a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\ldots +a_{2N}-a_{2N+1}\leqslant a_{0}-a_{2}+a_{2}-a_{4}+\ldots +a_{2N}-a_{2N+2}=a_{0}-a_{2N+2}\leqslant a_{0}}

(ciąg ten jest ograniczony). Niech

s = lim N → ∞ S 2 N + 1 . {\displaystyle s=\lim _{N\to \infty }S_{2N+1}.}

Aby zakończyć dowód, trzeba pokazać, że

s = lim N → ∞ S 2 N . {\displaystyle s=\lim _{N\to \infty }S_{2N}.}

Rzeczywiście,

lim N → ∞ S 2 N = lim N → ∞ ( S 2 N − 1 + a 2 N ) = lim N → ∞ S 2 N − 1 + lim N → ∞ a 2 N = s + 0 {\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{2N}=\lim _{N\to \infty }\left(S_{2N-1}+a_{2N}\right)=\lim _{N\to \infty }S_{2N-1}+\lim _{N\to \infty }a_{2N}=s+0} [1].

Przykład zastosowania

  • Szereg anharmoniczny
1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + … {\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\ldots }
jest zbieżny, jako szereg naprzemienny, którego ciąg wyrazów jest malejący i zbieżny do 0 {\displaystyle 0} [1].
  • w szeregu Grandiego 1 − 1 + 1 − 1 … {\displaystyle 1-1+1-1\dots } ciąg wyrazów a n = 1 {\displaystyle a_{n}=1} jest nierosnący,
w szeregu ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 1 + 1 n ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,(1+{\tfrac {1}{n}})} ciąg wyrazów a n = 1 + 1 n {\displaystyle a_{n}=1+{\tfrac {1}{n}}} jest malejący.
W żadnym z tych szeregów ciąg wyrazów ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} nie jest zbieżny do 0 {\displaystyle 0} i oba szeregi są rozbieżne
  • w szeregu ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n a n , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,a_{n},} gdzie a 2 n = 1 n 2 , a 2 n − 1 = 1 n {\displaystyle a_{2n}={\tfrac {1}{n^{2}}},\quad a_{2n-1}={\tfrac {1}{n}}} ciąg wyrazów ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} jest zbieżny do 0 , {\displaystyle 0,} ale nie jest nierosnący i szereg jest rozbieżny.

Przypisy

  1. ↑ a b c Kuratowski 1967 ↓, s. 43.

Bibliografia

  • Kazimierz Kuratowski: Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1967.

Literatura dodatkowa

  • Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: PWN, 1966.

Linki zewnętrzne

  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Leibniz Criterion, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-02-09].
  • publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Leibniz criterion (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-02-09].