Kryterium Sylvestera

Kryterium Sylvestera – kryterium pozwalające badać dodatnią (lub ujemną) określoność symetrycznej macierzy. Nazwa pochodzi od brytyjskiego matematyka J. J. Sylvestera.

Kryterium Sylvestera

Niech

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{bmatrix}}}$

będzie macierzą symetryczną o współczynnikach rzeczywistych.

Niech ponadto

${\displaystyle M_{1}=a_{11},}$    ${\displaystyle M_{2}=\det {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}},...}$       ${\displaystyle M_{l}=\det {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1l}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2l}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{l1}&a_{l2}&\dots &a_{ll}\end{bmatrix}}}$

Wówczas

${\displaystyle A}$ jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy jej wiodące minory główne są dodatnie, tj.

${\displaystyle M_{1}>0,\quad M_{2}>0,...\quad M_{n}>0}$

czyli  ${\displaystyle M_{l}>0}$ dla ${\displaystyle l\in \{1,\dots ,n\},}$

${\displaystyle A}$ jest ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle M_{1}<0,\quad M_{2}>0,\quad M_{3}<0,\quad M_{4}>0,...}$

czyli  ${\displaystyle M_{l}<0}$ dla ${\displaystyle l\in \{1,3,5,\dots \}}$ (dla nieparzystych),  ${\displaystyle M_{l}>0}$ dla ${\displaystyle l\in \{2,4,6,\dots \}}$ (dla parzystych),

Reguła mnemotechniczna:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}+&&&\\&+&&\\&&+&\\&&&\ddots \end{bmatrix}}\Rightarrow A{\text{ -- dodatnio określona}},}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}-&&&\\&+&&\\&&-&\\&&&\ddots \end{bmatrix}}\Rightarrow A{\text{ -- ujemnie określona}},}$

gdzie na przekątnej zaznaczono znaki minorów głównych (,,narożnikowych”) ${\displaystyle M_{l},\quad l=1,2,\dots ,n.}$

Jeśli macierz ${\displaystyle A}$ traktować jako macierz formy kwadratowej

${\displaystyle f(x)=\sum _{j,k=1}^{n}a_{jk}x_{j}x_{k},\;a_{jk}=a_{kj},}$

to forma ta jest dodatnio (ujemnie) określona wtedy i tylko wtedy, gdy jej macierz jest dodatnio (ujemnie) określona.

Bibliografia

• Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Elementy algebry wyższej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975.brak strony w książce