Kwantyfikator ogólny

Kwantyfikator ogólny, kwantyfikator duży, kwantyfikator uniwersalny – kwantyfikator oznaczający, że dane twierdzenie (funkcja zdaniowa) jest prawdziwe dla dowolnej wartości zmiennej.

Stosuje się dwie postacie graficzne:

${\displaystyle \forall x:\phi (x)}$ (odwrócona litera A; zapis ten jest związany z angielskim zwrotem „for all”)

oraz:

${\displaystyle \bigwedge _{x}\phi (x).}$

W obu przypadkach czyta się „dla każdego ${\displaystyle x}$ zachodzi ${\displaystyle \phi (x)}$”.

Gdy formuła wymaga ustalenia zakresu dla zmiennej, np.:

${\displaystyle \forall x:(x\in \mathbb {A} \implies \phi (x)),}$

${\displaystyle \bigwedge _{x}(x\in \mathbb {A} \implies \phi (x)),}$

to używa się uproszczonej notacji:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {A} :\phi (x),}$

${\displaystyle \bigwedge _{x\in \mathbb {A} }\phi (x)}$

i czyta się „dla każdego ${\displaystyle x}$ należącego do zbioru ${\displaystyle \mathbb {A} }$ zachodzi ${\displaystyle \phi (x)}$”.

Jeżeli ${\displaystyle X=\{x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}\}}$ jest skończonym podzbiorem (niekoniecznie właściwym) argumentów ${\displaystyle \phi (x)}$ to:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {X} :\phi (x)\equiv \phi (x_{0})\land \phi (x_{1})\land \ldots \land \phi (x_{n}).}$

Zanegowany kwantyfikator ogólny staje się kwantyfikatorem egzystencjalnym i na odwrót:

${\displaystyle \neg \forall x:\phi (x)\equiv \exists x:\neg \phi (x),}$

${\displaystyle \neg \exists x:\phi (x)\equiv \forall x:\neg \phi (x).}$

Generalnie, jeśli coś zachodzi „dla każdego ${\displaystyle x}$”, to istnieje takie ${\displaystyle x,}$ że to zachodzi. Mamy więc implikację:

${\displaystyle \forall x:\phi (x)\implies \exists x:\phi (x).}$

Wyjątkiem są uniwersa puste, w których nie istnieje żaden obiekt. W takim wypadku dla każdego ${\displaystyle x}$ zachodzi cokolwiek – z fałszem włącznie – bo nie możemy przecież znaleźć żadnego ${\displaystyle x,}$ dla którego można by wykazać sprzeczność. Z tego powodu zwykle z góry wyklucza się uniwersa puste i zakłada się, że „coś istnieje”. Badaniem struktur z pustymi uniwersami zajmuje się logika wolna.

Zobacz też

• kwantyfikator egzystencjalny
• lista symboli matematycznych