Lemat Goursata

Ten artykuł dotyczy teorii grup. Zobacz też: lemat Cauchy’ego-Goursata w analizie zespolonej.

Lemat Goursata – twierdzenie teorii grup charakteryzujące podgrupy iloczynu prostego dwóch grup.

Pierwszy raz pojawiło się ono w pracy Édouarda Goursata pt. Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l’espace („O podstawieniach ortogonalnych i podziałach regularnych przestrzeni”) z 1889 roku[1]. W osobnej sekcji pokazane zostanie, w jaki sposób można udowodnić za jego pomocą lemat Zassenhausa.

Wprowadzenie

W teorii grup dostępne są trzy standardowe sposoby konstruowania nowych grup z istniejących:

  • wzięcie podgrupy H {\displaystyle H} danej grupy G , {\displaystyle G,}
  • wzięcie ilorazu G / H {\displaystyle G/H} (gdzie H {\displaystyle H} jest podgrupą normalną) oraz
  • wzięcie iloczynu prostego G 1 × G 2 {\displaystyle G_{1}\times G_{2}} dwóch grup G 1 {\displaystyle G_{1}} oraz G 2 . {\displaystyle G_{2}.}

Dla każdej z tych konstrukcji można zapytać: jak wyglądają podgrupy uzyskanej grupy? W dwóch pierwszych przypadkach odpowiedź jest prosta: podgrupa L {\displaystyle L} w H {\displaystyle H} jest po prostu podgrupą L {\displaystyle L} w G {\displaystyle G} zawartą w H {\displaystyle H} (podgrupą podgrupy jest podgrupą), a z wniosku z twierdzenia o odpowiedniości wynika, że podgrupy G / H {\displaystyle G/H} mają postać J / H , {\displaystyle J/H,} gdzie J {\displaystyle J} jest podgrupą w G , {\displaystyle G,} dla której H ⊆ J ⊆ G {\displaystyle H\subseteq J\subseteq G} (co więcej, J / H ⊴ G / H {\displaystyle J/H\trianglelefteq G/H} wtedy i tylko wtedy, gdy J ⊴ G {\displaystyle J\trianglelefteq G} ). Odpowiedź na trzecie pytanie jest nieco bardziej złożona i jest treścią niniejszego artykułu: mając dane grupy G 1 {\displaystyle G_{1}} oraz G 2 {\displaystyle G_{2}} znaleźć wszystkie podgrupy (normalne) w G 1 × G 2 . {\displaystyle G_{1}\times G_{2}.}

Iloczyn prosty G 1 × G 2 {\displaystyle G_{1}\times G_{2}} danych grup G 1 {\displaystyle G_{1}} i G 2 {\displaystyle G_{2}} to grupa, której nośnikiem są pary uporządkowane { ( g 1 , g 2 ) : g i ∈ G i } {\displaystyle \{(g_{1},g_{2})\colon g_{i}\in G_{i}\}} z mnożeniem określonym po współrzędnych: ( g 1 , g 2 ) ( h 1 , h 2 ) = ( g 1 h 1 , g 2 h 2 ) ; {\displaystyle (g_{1},g_{2})(h_{1},h_{2})=(g_{1}h_{1},g_{2}h_{2});} elementem neutralnym jest ( e 1 , e 2 ) , {\displaystyle (e_{1},e_{2}),} a element odwrotny to ( g 1 , g 2 ) − 1 = ( g 1 − 1 , g 2 − 1 ) . {\displaystyle (g_{1},g_{2})^{-1}=(g_{1}^{-1},g_{2}^{-1}).} Jeśli H i {\displaystyle H_{i}} jest podgrupą w G i , {\displaystyle G_{i},} to H 1 × H 2 {\displaystyle H_{1}\times H_{2}} jest podgrupą w G 1 × G 2 {\displaystyle G_{1}\times G_{2}} [a] nazywaną dalej podiloczynem; więcej H 1 × H 2 {\displaystyle H_{1}\times H_{2}} jest normalna w G 1 × G 2 {\displaystyle G_{1}\times G_{2}} wtedy i tylko wtedy, gdy każda H i ⊴ G i {\displaystyle H_{i}\trianglelefteq G_{i}} [b].

Jako wprowadzenie przedstawione zostanie rozwiązanie następującego problemu:

które pary grup G 1 {\displaystyle G_{1}} i G 2 {\displaystyle G_{2}} mają tę właściwość, że każda podgrupa (normalna) w G 1 × G 2 {\displaystyle G_{1}\times G_{2}} jest podiloczynem w G 1 × G 2 {\displaystyle G_{1}\times G_{2}} ?

Odpowiedź daje następujące

Stwierdzenie
Niech G 1 {\displaystyle G_{1}} oraz G 2 {\displaystyle G_{2}} będą nietrywialnymi grupami. Każda podgrupa w G 1 × G 2 {\displaystyle G_{1}\times G_{2}} jest jej podiloczynem wtedy i tylko wtedy, gdy g i ∈ G i {\displaystyle g_{i}\in G_{i}} mają skończone, względnie pierwsze rzędy[c].

wykorzystujące poniższy

Lemat
Niech G 1 {\displaystyle G_{1}} oraz G 2 {\displaystyle G_{2}} będą nietrywialnymi grupami. Wówczas G 1 × G 2 {\displaystyle G_{1}\times G_{2}} jest cykliczna wtedy i tylko wtedy, gdy G 1 {\displaystyle G_{1}} i G 2 {\displaystyle G_{2}} są skończonymi grupami cyklicznymi o względnie pierwszych rzędach[d].

Twierdzenie

Niech G 1 , G 2 {\displaystyle G_{1},G_{2}} będą grupami.

  1. Niech H {\displaystyle H} będzie podgrupą w G 1 × G 2 . {\displaystyle G_{1}\times G_{2}.} Niech H 11 = { a ∈ G 1 : ( a , e 2 ) ∈ H } , {\displaystyle H_{11}=\{a\in G_{1}\colon (a,e_{2})\in H\},} H 21 = { b ∈ G 2 : ( e 1 , b ) ∈ H } {\displaystyle H_{21}=\{b\in G_{2}\colon (e_{1},b)\in H\}} oraz H 12 = { a ∈ G 1 : ( a , b ) ∈ H  dla pewnego  b ∈ G 2 } , {\displaystyle H_{12}=\{a\in G_{1}\colon (a,b)\in H{\text{ dla pewnego }}b\in G_{2}\},} H 22 = { b ∈ G 2 : ( a , b ) ∈ H  dla pewnego  a ∈ G 1 } . {\displaystyle H_{22}=\{b\in G_{2}\colon (a,b)\in H{\text{ dla pewnego }}a\in G_{1}\}.}
    Wówczas H i 1 ⊆ H i 2 {\displaystyle H_{i1}\subseteq H_{i2}} są podgrupami w G i , {\displaystyle G_{i},} dla których H i 1 ⊴ H i 2 , {\displaystyle H_{i1}\trianglelefteq H_{i2},} a odwzorowanie φ H : H 12 / H 11 → H 22 / H 21 {\displaystyle \varphi _{H}\colon H_{12}/H_{11}\to H_{22}/H_{21}} dane wzorem φ H ( a H 11 ) = b H 21 , {\displaystyle \varphi _{H}(aH_{11})=bH_{21},} gdzie ( a , b ) ∈ H , {\displaystyle (a,b)\in H,} jest izomorfizmem.
    Co więcej: jeśli H ⊴ G 1 × G 2 , {\displaystyle H\trianglelefteq G_{1}\times G_{2},} to H i 1 , H i 2 ◃ G i {\displaystyle H_{i1},H_{i2}\triangleleft G_{i}} oraz H i 2 / H i 1 ⊆ Z ( G i / H i 1 ) , {\displaystyle H_{i2}/H_{i1}\subseteq \mathrm {Z} (G_{i}/H_{i1}),} centrum G i / H i 1 . {\displaystyle G_{i}/H_{i1}.}
  2. Niech H i 1 ⊴ H i 2 {\displaystyle H_{i1}\trianglelefteq H_{i2}} będą podgrupami w G i {\displaystyle G_{i}} i niech φ : H 12 / H 11 → H 22 / H 21 {\displaystyle \varphi \colon H_{12}/H_{11}\to H_{22}/H_{21}} będzie izomorfizmem.
    Wówczas H = { ( a , b ) ∈ H 12 × H 22 : φ ( a H 11 ) = b H 21 } {\displaystyle H={\big \{}(a,b)\in H_{12}\times H_{22}\colon \varphi (aH_{11})=bH_{21}{\big \}}} jest podgrupą G 1 × G 2 . {\displaystyle G_{1}\times G_{2}.}
    Zakładając ponadto H i 1 , H i 2 ⊴ G {\displaystyle H_{i1},H_{i2}\trianglelefteq G} oraz H i 2 / H i 1 ⊆ Z ( G i / H i 1 ) {\displaystyle H_{i2}/H_{i1}\subseteq \mathrm {Z} (G_{i}/H_{i1})} otrzymuje się H ⊴ G 1 × G 2 . {\displaystyle H\trianglelefteq G_{1}\times G_{2}.}
  3. Konstrukcje podane w 1. i 2. są wzajemnie odwrotne.

Wnioski

W literaturze[2] spotyka się również następujące sformułowanie lematu Goursata:

Niech H {\displaystyle H} będzie podgrupą w G 1 × G 2 {\displaystyle G_{1}\times G_{2}} z kanonicznymi rzutami π i : H → G i {\displaystyle \pi _{i}\colon H\to G_{i}} o jądrach N i , {\displaystyle N_{i},} dzięki którym można utożsamić N i {\displaystyle N_{i}} z podgrupą normalną w G i . {\displaystyle G_{i}.} Wówczas obraz H {\displaystyle H} w G 1 / N 1 × G 2 / N 2 {\displaystyle G_{1}/N_{1}\times G_{2}/N_{2}} jest wykresem izomorfizmu G 1 / N 1 ≃ G 2 / N 2 . {\displaystyle G_{1}/N_{1}\simeq G_{2}/N_{2}.}

Lemat Zassenhausa

 Zobacz też: lemat Zassenhausa.
Diagram Hassego do lematu Zassenhausa (niestandardowo większe podgrupy znajdują się na dole diagramu, a mniejsze – na górze) obrazujący dodatkowo alternatywne określenie „motyli”.

Niech G {\displaystyle G} będzie grupą, a B ⊴ A {\displaystyle B\trianglelefteq A} oraz D ⊴ C {\displaystyle D\trianglelefteq C} będą jej podgrupami. Wówczas B ( A ∩ D ) ⊴ B ( A ∩ C ) , {\displaystyle B(A\cap D)\trianglelefteq B(A\cap C),} D ( B ∩ C ) ⊴ D ( A ∩ C ) , {\displaystyle D(B\cap C)\trianglelefteq D(A\cap C),} a grupy ilorazowe B ( A ∩ C ) / B ( A ∩ D ) {\displaystyle B(A\cap C)/B(A\cap D)} oraz D ( A ∩ C ) / D ( B ∩ C ) {\displaystyle D(A\cap C)/D(B\cap C)} są izomorficzne.

Dowód

Zbiór H = { ( b c , d c ) ∈ G × G : b ∈ B , d ∈ D , c ∈ A ∩ C } {\displaystyle H=\{(bc,dc)\in G\times G\colon b\in B,d\in D,c\in A\cap C\}} jest podgrupą w G × G {\displaystyle G\times G} [e]. Zgodnie z notacją z lematu Goursata jest H 12 = B ( A ∩ C ) {\displaystyle H_{12}=B(A\cap C)} oraz H 22 = D ( A ∩ C ) {\displaystyle H_{22}=D(A\cap C)} (co pokazuje, że są one grupami w G {\displaystyle G} ), ponadto H 11 = { a c : a ∈ B , c ∈ A ∩ D } = B ( A ∩ D ) {\displaystyle H_{11}=\{ac\colon a\in B,c\in A\cap D\}=B(A\cap D)} i podobnie H 21 = D ( B ∩ C ) . {\displaystyle H_{21}=D(B\cap C).} Zatem skoro H i 1 ⊴ H i 2 , {\displaystyle H_{i1}\trianglelefteq H_{i2},} to B ( A ∩ D ) {\displaystyle B(A\cap D)} jest podgrupą normalną w B ( A ∩ C ) , {\displaystyle B(A\cap C),} D ( B ∩ C ) {\displaystyle D(B\cap C)} jest podgrupą normalną w D ( A ∩ C ) {\displaystyle D(A\cap C)} i stąd H 12 / H 11 {\displaystyle H_{12}/H_{11}} oraz H 22 / H 21 {\displaystyle H_{22}/H_{21}} są izomorficzne, co kończy dowód.

Uwagi

  1. ↑ Kryterium bycia podgrupą: zbiór G 1 × G 2 {\displaystyle G_{1}\times G_{2}} jest niepusty, ponieważ ( e 1 , e 2 ) ∈ G 1 × G 2 {\displaystyle (e_{1},e_{2})\in G_{1}\times G_{2}} należy do H 1 × H 2 ; {\displaystyle H_{1}\times H_{2};} niech h 1 , h 1 ′ ∈ H 1 {\displaystyle h_{1},h_{1}'\in H_{1}} i h 2 , h 2 ′ ∈ H 2 , {\displaystyle h_{2},h_{2}'\in H_{2},} skąd ( h 1 , h 2 ) , ( h 1 ′ , h 2 ′ ) ∈ H 1 × H 2 {\displaystyle (h_{1},h_{2}),(h_{1}',h_{2}')\in H_{1}\times H_{2}} wówczas ( h 1 , h 2 ) ( h 1 ′ , h 2 ′ ) − 1 = ( h 1 , h 2 ) ( h 1 ′ − 1 , h 2 ′ − 1 ) = ( h 1 h 1 ′ − 1 , h 2 h 2 ′ − 1 ) ∈ H 1 × H 2 , {\displaystyle (h_{1},h_{2})(h_{1}',h_{2}')^{-1}=(h_{1},h_{2})(h_{1}'^{-1},h_{2}'^{-1})=(h_{1}h_{1}'^{-1},h_{2}h_{2}'^{-1})\in H_{1}\times H_{2},} jako że h 1 h 1 ′ − 1 ∈ H 1 {\displaystyle h_{1}h_{1}'^{-1}\in H_{1}} oraz h 2 h 2 ′ − 1 ∈ H 2 . {\displaystyle h_{2}h_{2}'^{-1}\in H_{2}.}
  2. ↑ Nie każda podgrupa (normalna) iloczynu prostego dwóch grup jest podiloczynem: standardowym kontrprzykładem jest grupa czwórkowa Kleina Z 2 × Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}} z podgrupą normalną { ( 0 ¯ , 0 ¯ ) , ( 1 ¯ , 1 ¯ ) } , {\displaystyle {\big \{}({\overline {0}},{\overline {0}}),({\overline {1}},{\overline {1}}){\big \}},} gdzie ( Z 2 , + ) {\displaystyle \mathbb {(} Z_{2},+)} oznacza grupę liczb całkowitych modulo 2 z działaniem dodawania (ogólnie: dowolna podgrupa przekątniowa Δ G = { ( g , … , g ) : g ∈ G } {\displaystyle \Delta _{G}=\{(g,\dots ,g)\colon g\in G\}} w n {\displaystyle n} -krotnym iloczynie prostym G n {\displaystyle G^{n}} ).
  3. ↑ Konieczność. Niech g i ∈ G i ∖ { e i } . {\displaystyle g_{i}\in G_{i}\setminus \{e_{i}\}.} Wówczas ⟨ ( g 1 , g 2 ) ⟩ {\displaystyle {\big \langle }(g_{1},g_{2}){\big \rangle }} jest podiloczynem G 1 × G 2 , {\displaystyle G_{1}\times G_{2},} zatem ⟨ ( g 1 , g 2 ) ⟩ = ⟨ g 1 ⟩ × ⟨ g 2 ⟩ . {\displaystyle {\big \langle }(g_{1},g_{2}){\big \rangle }=\langle g_{1}\rangle \times \langle g_{2}\rangle .} Na mocy (poniższego) lematu g i {\displaystyle g_{i}} mają skończone, względnie pierwsze rzędy.
    Dostateczność. Niech H {\displaystyle H} będzie podgrupą G 1 × G 2 {\displaystyle G_{1}\times G_{2}} i niech ( g 1 , g 2 ) ∈ H . {\displaystyle (g_{1},g_{2})\in H.} Ponieważ rzędy g 1 , g 2 {\displaystyle g_{1},g_{2}} są względnie pierwsze, to dowód (poniższego) lematu daje ⟨ ( g 1 , g 2 ) ⟩ = ⟨ g 1 ⟩ × ⟨ g 2 ⟩ , {\displaystyle {\big \langle }(g_{1},g_{2}){\big \rangle }=\langle g_{1}\rangle \times \langle g_{2}\rangle ,} skąd ( g 1 , e 2 ) , ( e 1 , g 2 ) ∈ H , {\displaystyle (g_{1},e_{2}),(e_{1},g_{2})\in H,} zatem H = H 1 × H 2 , {\displaystyle H=H_{1}\times H_{2},} gdzie H 1 = { g ∈ G 1 : ( g , e 2 ) ∈ H } {\displaystyle H_{1}={\big \{}g\in G_{1}\colon (g,e_{2})\in H{\big \}}} oraz H 2 = { g ∈ G 2 : ( e 1 , g ) ∈ H } . {\displaystyle H_{2}={\big \{}g\in G_{2}\colon (e_{1},g)\in H{\big \}}.}
  4. ↑ Konieczność. Niech G 1 × G 2 {\displaystyle G_{1}\times G_{2}} będzie cykliczna, tj. G 1 × G 2 = ⟨ ( g 1 , g 2 ) ⟩ . {\displaystyle G_{1}\times G_{2}={\big \langle }(g_{1},g_{2}){\big \rangle }.} Niech g ∈ G 1 {\displaystyle g\in G_{1}} tak, by ( g , e 2 ) = ( g 1 , g 2 ) n {\displaystyle (g,e_{2})=(g_{1},g_{2})^{n}} dla pewnej liczby całkowitej n . {\displaystyle n.} W ten sposób g = g 1 n {\displaystyle g=g_{1}^{n}} oraz g 2 n = e 2 ; {\displaystyle g_{2}^{n}=e_{2};} oznacza to, że G 1 = ⟨ g 1 ⟩ , {\displaystyle G_{1}=\langle g_{1}\rangle ,} a g 2 {\displaystyle g_{2}} ma skończony rząd i podobnie g 1 {\displaystyle g_{1}} ma skończony rząd, a G 2 = ⟨ g 2 ⟩ . {\displaystyle G_{2}=\langle g_{2}\rangle .} Niech o r d ( g i ) = n i {\displaystyle \mathrm {ord} (g_{i})=n_{i}} oznacza rząd elementu g i . {\displaystyle g_{i}.} Wówczas o r d ( ( g 1 , g 2 ) ) = | G 1 × G 2 | = n 1 n 2 . {\displaystyle \mathrm {ord} {\big (}(g_{1},g_{2}){\big )}=|G_{1}\times G_{2}|=n_{1}n_{2}.} Jednakże jeśli l = n w w ( n 1 , n 2 ) , {\displaystyle l=\mathrm {nww} (n_{1},n_{2}),} to ( g 1 , g 2 ) l = ( e 1 , e 2 ) ; {\displaystyle (g_{1},g_{2})^{l}=(e_{1},e_{2});} dlatego l = n 1 n 2 , {\displaystyle l=n_{1}n_{2},} tzn. n w d ( n 1 , n 2 ) = 1. {\displaystyle \mathrm {nwd} (n_{1},n_{2})=1.}
    Dostateczność. Niech G i = ⟨ g i ⟩ , {\displaystyle G_{i}=\langle g_{i}\rangle ,} gdzie | G i | = n i , {\displaystyle |G_{i}|=n_{i},} przy czym n w d ( n 1 , n 2 ) = 1. {\displaystyle \mathrm {nwd} (n_{1},n_{2})=1.} Zachodzi ( g 1 , g 2 ) n 1 n 2 = ( ( g 1 n 1 ) n 2 , ( g 2 n 2 ) n 1 ) = ( e 1 , e 2 ) . {\displaystyle (g_{1},g_{2})^{n_{1}n_{2}}=\left((g_{1}^{n_{1}})^{n_{2}},(g_{2}^{n_{2}})^{n_{1}}\right)=(e_{1},e_{2}).} Ale ( e 1 , e 2 ) = ( g 1 , g 2 ) l {\displaystyle (e_{1},e_{2})=(g_{1},g_{2})^{l}} pociąga g i l = e i ; {\displaystyle g_{i}^{l}=e_{i};} dlatego n i | l . {\displaystyle n_{i}|l.} Skoro n w d ( n 1 , n 2 ) = 1 , {\displaystyle \mathrm {nwd} (n_{1},n_{2})=1,} to n 1 n 2 | l . {\displaystyle n_{1}n_{2}|l.} Zatem ( g 1 , g 2 ) {\displaystyle (g_{1},g_{2})} ma rząd n 1 n 2 , {\displaystyle n_{1}n_{2},} a więc ⟨ ( g 1 , g 2 ) ⟩ = G 1 × G 2 . {\displaystyle {\big \langle }(g_{1},g_{2}){\big \rangle }=G_{1}\times G_{2}.}
  5. ↑ Niech ( b c , d c ) , ( b ′ c ′ , d ′ c ′ ) ∈ H , {\displaystyle (bc,dc),(b'c',d'c')\in H,} gdzie b , b ′ ∈ B , {\displaystyle b,b'\in B,} d , d ′ ∈ D {\displaystyle d,d'\in D} i c , c ′ ∈ A ∩ C . {\displaystyle c,c'\in A\cap C.} Teraz B ⊴ A {\displaystyle B\trianglelefteq A} daje c b ′ = b ¯ c {\displaystyle cb'={\overline {b}}c} oraz c − 1 b − 1 = b ∗ c − 1 {\displaystyle c^{-1}b^{-1}=b^{*}c^{-1}} dla pewnych b ¯ , b ∗ ∈ B {\displaystyle {\overline {b}},b^{*}\in B} i podobnie D ⊴ C {\displaystyle D\trianglelefteq C} daje c d ′ = d ¯ c {\displaystyle cd'={\overline {d}}c} oraz c − 1 d − 1 = d ∗ c − 1 {\displaystyle c^{-1}d^{-1}=d^{*}c^{-1}} dla pewnych d ¯ , d ∗ ∈ D . {\displaystyle {\overline {d}},d^{*}\in D.} Zatem ( b c , d c ) ( b ′ c ′ , d ′ c ′ ) = ( b c b ′ c ′ , d c d ′ c ′ ) = ( b b ¯ c c ′ , d d ¯ c c ′ ) ∈ H {\displaystyle (bc,dc)(b'c',d'c')=(bcb'c',dcd'c')=(b{\overline {b}}cc',d{\overline {d}}cc')\in H} oraz ( b c , d c ) − 1 = ( c − 1 b − 1 , c − 1 d − 1 ) = ( b ∗ c − 1 , d ∗ c − 1 ) ∈ H . {\displaystyle (bc,dc)^{-1}=(c^{-1}b^{-1},c^{-1}d^{-1})=(b^{*}c^{-1},d^{*}c^{-1})\in H.}

Przypisy

  1. ↑ Édouard Goursat. Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l’espace. „Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure”. 6, s. 9–102, 1889. Elsevier. ISSN 0012-9593. (fr.). 
  2. ↑ SergeS. Lang SergeS., Algebra, wyd. 3, t. 211, Nowy Jork: Springer-Verlag, 2002 (Graduate Texts in Mathematics), DOI: 10.1007/978-1-4613-0041-0, ISBN 978-0-387-95385-4, ISSN 0072-5285 .