Miara Diraca

Miara Diraca – miara, która zbiorowi (mierzalnemu) ${\displaystyle A}$ przestrzeni mierzalnej ${\displaystyle X}$ przypisuje wartość 1, jeżeli ${\displaystyle A}$ zawiera ustalony punkt ${\displaystyle x}$ należący do ${\displaystyle X;}$ w przeciwnym wypadku miara Diraca zbioru ${\displaystyle A}$ wynosi 0.

Definicja

Jeżeli ${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}})}$ jest przestrzenią mierzalną oraz ${\displaystyle x}$ jest elementem przestrzeni ${\displaystyle X,}$ to miarą Diraca skoncentrowaną w punkcie ${\displaystyle x}$ nazywa się miarę ${\displaystyle \delta _{x}}$ taką, że dla dowolnego zbioru mierzalnego ${\displaystyle A\in {\mathfrak {M}}{:}}$

${\displaystyle \delta _{x}(A)={\begin{cases}1,&x\in A,\\0,&x\notin A.\end{cases}}}$

Miara Diraca jest miarą probabilistyczną.

Nazwa miary pochodzi od funkcji delta Diraca, będącej dystrybucją na prostej rzeczywistej (miary można uważać za specjalny rodzaj dystrybucji). Dla miary Diraca i dowolnej funkcji mierzalnej ${\displaystyle f}$ na ${\displaystyle X}$ zachodzi tożsamość:

${\displaystyle \int \limits _{X}~f(y)\,\mathrm {d} \delta _{x}(y)=f(x)}$

lub w równoważnej formie

${\displaystyle \int _{X}f(y)\delta _{x}(y)\,\mathrm {d} y=f(x).}$

Powyższa tożsamość jest często używana w definicji delty Diraca; używa się jej także w całce Lebesque’a.

Własności

Niech ${\displaystyle \delta _{x}}$ oznacza miarę Diraca określoną w pewnym punkcie ${\displaystyle x}$ przestrzeni mierzalnej ${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}}).}$

• ${\displaystyle \delta _{x}}$ jest miarą probabilistyczną (w szczególności jest miarą skończoną).

Niech ${\displaystyle (X,\tau )}$ będzie przestrzenią topologiczną, a ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ będzie σ-ciałem podzbiorów ${\displaystyle X}$ zawierającym wszystkie borelowskie podzbiory ${\displaystyle X}$ oraz niech ${\displaystyle \delta _{x}}$ jest miarą Diraca skoncentrowaną w pewnym punkcie ${\displaystyle x}$ przestrzeni ${\displaystyle X.}$

• Miara Diraca jest miarą ściśle dodatnią wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią typu T₀.
• Miara Diraca, jako miara skończona, jest w szczególności lokalnie skończona.
• Miara Diraca jest wewnętrzną regularna: wszystkie zbiory jednoelementowe są zwarte. W szczególności miary Diraca są miarami Radona.
• Jeśli zbiór ${\displaystyle \{x\}}$ jest domknięty w topologii ${\displaystyle \tau ,}$ to jest on nośnikiem miary ${\displaystyle \delta _{x}}$ (w przeciwnym przypadku nośnikiem ${\displaystyle \delta _{x}}$ jest domknięcie zbioru ${\displaystyle \{x\}}$ w rozważanej topologii). Miary Diraca (na przestrzeniach typu T₁) są jedynymi miarami probabilistycznymi o jednopunktowym nośniku.
• Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest ${\displaystyle n}$-wymiarową przestrzenią euklidesową ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ z ${\displaystyle \sigma }$-algebrą zbiorów borelowskich oraz ${\displaystyle n}$-wymiarową miarą Lebesgue’a ${\displaystyle \lambda ^{n},}$ to ${\displaystyle \delta _{x}}$ jest miarą osobliwą względem ${\displaystyle \lambda ^{n}{:}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=A\cup B,}$ gdzie

${\displaystyle A=\mathbb {R} ^{n}\setminus \{x\},}$ ${\displaystyle B=\{x\}}$ oraz

${\displaystyle \delta _{x}(A)=\lambda ^{n}(B)=0.}$