Naprężenie

Fragment kątomierza z tworzywa sztucznego. Kolorowe wzory ilustrują rozkład naprężeń.

Naprężenie – w mechanice ośrodków ciągłych jest wielkością fizyczną wyrażającą siły wewnętrzne, jakie sąsiednie cząstki materiału ciągłego wywierają na siebie. Naprężenie reprezentuje równocześnie dwa kierunki: kierunek działania siły oraz kierunek orientacji powierzchni – nie jest więc ani skalarem ani wektorem, lecz tensorem drugiego rzędu.

W niektórych sytuacjach (np. jednoosiowy stan naprężenia) operować można jedynie na jednej bądź dwóch składowych tensora naprężenia. Składowe te można wówczas traktować w uproszczeniu jako wielkości skalarne, a ich ‘sumę geometryczną’ jako wielkość wektorową.

Naprężenie stanowi jedno z najważniejszych pojęć inżynierskich. Wyznaczanie naprężeń w poszczególnych punktach konstrukcji jest przeprowadzane w trakcie jej projektowania, gdyż naprężenia decydują o bezpieczeństwie użytkowania konstrukcji.

Definicja

Naprężenie S {\displaystyle S} w punkcie przekroju jest wielkością określoną wzorem:

S i k = lim A k 0 F i A k {\displaystyle S_{ik}=\lim _{A_{k}\to 0}{\frac {F_{i}}{A_{k}}}}

lub w wersji różniczkowej

S i k = F i A k . {\displaystyle S_{ik}={\frac {\partial F_{i}}{\partial A_{k}}}.}

Wektor naprężenia można rozłożyć na składową styczną i składową normalną (prostopadłą) do przekroju:

S = σ n + τ t , {\displaystyle {\vec {S}}=\sigma {\vec {n}}+\tau {\vec {t}},}

gdzie:

S i k {\displaystyle S_{ik}} – tensor naprężeń,
s {\displaystyle {\vec {s}}} – wypadkowy wektor naprężenia,
F i {\displaystyle F_{i}} – wypadkowy wektor elementarnych sił wewnętrznych działających na elementarną powierzchnię zorientowaną A k , {\displaystyle A_{k},}
A k {\displaystyle A_{k}} – powierzchnia zorientowana, na która działa siła,
σ {\displaystyle \sigma } – wartość składowej normalnej (prostopadłej) do przekroju,
n {\displaystyle {\vec {n}}} – wersor normalny do powierzchni,
τ {\displaystyle \tau } – składowa styczna, ścinająca (równoległa do przekroju),
t {\displaystyle {\vec {t}}} – wersor równoległy do powierzchni.

Jednostki

Jednostką naprężenia w układzie SI jest paskal, w skrócie Pa. W praktyce inżynierskiej stosuje się również atmosferę techniczną (kG/cm², kG/mm²), a w Stanach Zjednoczonych funt na cal kwadratowy (pound per square inch – psi oraz kilopound per square inch – ksi). W polskim środowisku inżynierskim na 1 psi mówi się niekiedy żartobiwie ‘1 pies’.

Przeliczniki jednostek:

1 kG/cm² = 98066,5 Pa
1 psi = 6894,757 Pa
1 ksi = 6894757 Pa = 6,894757 MPa

Kartezjański układ współrzędnych

Oznaczenia składowych stanu naprężenia.

W każdym punkcie ciała[1] można przyjąć (zaczepić) dowolnie zorientowany, kartezjański układ współrzędnych, w którym to układzie określa się składowe stanu naprężenia w tym punkcie. Wykonując trzy przekroje prostopadłe do osi przyjętego układu, można wyznaczyć, względem tych płaszczyzn, dziewięć składowych stanu naprężenia. Są to kolejno:

σ x , τ x y , τ x z , σ y , τ y x , τ y z , σ z , τ z x , τ z y . {\displaystyle \sigma _{x},\;\tau _{xy},\;\tau _{xz},\;\sigma _{y},\;\tau _{yx},\;\tau _{yz},\;\sigma _{z},\;\tau _{zx},\;\tau _{zy}.}

Jeżeli zwrot wektora naprężenia normalnego skierowany jest „na zewnątrz” otoczenia punktu, naprężenie normalne przyjmuje wartość dodatnią i nazywane jest naprężeniem rozciągającym. W przeciwnym razie jest naprężeniem ściskającym.

Na przykład w przypadku „górnej” powierzchni sześcianu (patrz rysunek), czyli prostopadłej do osi z {\displaystyle z} można napisać:

s = σ z k + τ z x i + τ z y j = σ n + τ , {\displaystyle {\vec {s}}=\sigma _{z}{\vec {k}}+\tau _{zx}{\vec {i}}+\tau _{zy}{\vec {j}}=\sigma {\vec {n}}+{\vec {\tau }},}

gdzie:

k = n {\displaystyle {\vec {k}}={\vec {n}}} – wersor osi z , {\displaystyle z,} a jednocześnie wektor normalny do rozpatrywanej powierzchni;
i , j {\displaystyle {\vec {i}},{\vec {j}}} – wersory osi odpowiednio x {\displaystyle x} i y . {\displaystyle y.}

Składowe naprężeń stycznych spełniają następujące równości:

τ x y = τ y x , τ x z = τ z x , τ y z = τ z y . {\displaystyle \tau _{xy}=\tau _{yx},\;\tau _{xz}=\tau _{zx},\;\tau _{yz}=\tau _{zy}.}

W rozważanym punkcie ciała można tak zorientować układ współrzędnych, aby naprężenia styczne były równe zeru, a niezerowe pozostawały jedynie naprężenia normalne. Tak zorientowany układ współrzędnych wyznacza kierunki główne stanu naprężenia. Odpowiadające im niezerowe składowe normalne to wartości główne naprężeń lub po prostu naprężenia główne: σ 1 σ 2 σ 3 , {\displaystyle \sigma _{1}\leqslant \sigma _{2}\leqslant \sigma _{3},} przy czym σ 1 = σ m i n , σ 3 = σ m a x . {\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{min},\;\sigma _{3}=\sigma _{max}.}

Wyznaczanie kierunków naprężeń głównych ma zasadnicze znaczenie na przykład przy projektowaniu elementów i konstrukcji żelbetowych, przy projektowaniu których zbrojenie rozmieszcza się zgodnie z kierunkami maksymalnych naprężeń rozciągających.

Zapis tensorowy

Naprężenie dla danej powierzchni przekroju może być opisane przez tensor naprężenia σ {\displaystyle \sigma } reprezentowany przez macierz zawierającą składowe stanu naprężenia, której elementy przekształcają się wraz z przyjętym układem współrzędnych (np. jego obrotem).

Biorąc pod uwagę równowagę elementarnego sześcianu i zakładając, że nie występują naprężenia momentowe (dla których uogólnioną teorię sformułowali bracia Cosserat, 1909[2]), dowodzi się, że tensor naprężenia jest symetryczny, to jest: σ i j = σ j i . {\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji}.}

Wykorzystując poczynione wcześniej założenia, dla układu kartezjańskiego można zapisać:

σ i j = [ σ x τ x y τ x z τ y x σ y τ y z τ z x τ z y σ z ] {\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}\quad {}} lub
σ i j = [ σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 ] , {\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}},}

gdzie:

σ x ,   σ y ,   σ z {\displaystyle \sigma _{x},\ \sigma _{y},\ \sigma _{z}} – naprężenia normalne,
τ x y ,   τ x z ,   τ y z {\displaystyle \tau _{xy},\ \tau _{xz},\ \tau _{yz}} – naprężenia ścinające (styczne).

Stany podstawowe

Każdy stan naprężenia można zawsze rozłożyć na dwa stany podstawowe:

Aksjator (tensor kulisty) – stan hydrostatyczny (aksjacyjny) – wywołuje tylko zmianę objętości (gęstości) ciała.
Dewiator – stan czystego ścinania (dewiacyjny) – wywołuje tylko zmianę postaci ciała: sześcian zmienia się w dwuskośny równoległościan bez zmian długości krawędzi[2].
[ σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 ] = [ σ 0 0 0 0 σ 0 0 0 0 σ 0 ] aksjator {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}=\underbrace {\begin{bmatrix}\sigma _{0}&0&0\\0&\sigma _{0}&0\\0&0&\sigma _{0}\end{bmatrix}} _{\text{aksjator}}} + [ σ 11 σ 0 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 0 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 σ 0 ] dewiator , {\displaystyle {}+\underbrace {\begin{bmatrix}\sigma _{11}-\sigma _{0}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\sigma _{0}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}-\sigma _{0}\end{bmatrix}} _{\text{dewiator}},}

gdzie:

σ 0 = σ 11 + σ 22 + σ 33 3 . {\displaystyle \sigma _{0}={\frac {\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}}{3}}.}

Niezmienniki stanu naprężenia

Tensor naprężenia, jak każdy tensor drugiego rzędu, ma trzy niezmienniki[3], czyli wielkości niezależne od układu współrzędnych

I 1 = σ 1 + σ 2 + σ 3 = const , {\displaystyle I_{1}=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}=\operatorname {const} ,}
I 2 = σ 1 σ 2 + σ 2 σ 3 + σ 3 σ 1 = const , {\displaystyle I_{2}=\sigma _{1}\cdot \sigma _{2}+\sigma _{2}\cdot \sigma _{3}+\sigma _{3}\cdot \sigma _{1}=\operatorname {const} ,}
I 3 = σ 1 σ 2 σ 3 = const , {\displaystyle I_{3}=\sigma _{1}\cdot \sigma _{2}\cdot \sigma _{3}=\operatorname {const} ,}

w których przez σ 1 , σ 2 , σ 3 {\displaystyle \sigma _{1},\;\sigma _{2},\;\sigma _{3}} oznaczono naprężenia główne w rozważanym punkcie ciała.

 Osobny artykuł: Naprężenie główne.

Zobacz też

Zobacz hasło naprężenie w Wikisłowniku
  • naprężenie w geologii
  • odkształcenie
  • prawo Hooke’a
  • Występowanie tekstu „naprężenie” w tytułach artykułów i w przekierowaniach
  • Artykuły i przekierowania do artykułów zaczynające się od „naprężenie”

Przypisy

  1. Rozważając stan naprężenia w punkcie ciała, jako punkt można rozumieć w tym przypadku jego otoczenie w postaci sześcianu elementarnego – czyli o nieskończenie małej krawędzi.
  2. a b Andrzej Gawęcki: Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych. Alma Mater, 2003, s. część 1, s. 3, 10.
  3. A. Gawęcki, Podstawy mechaniki konstrukcji prętowych, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, 1985, s. 36.

Linki zewnętrzne

  • Fale naprężenia na linii – Applet (Spannungswellen auf einer Leitung – Applet – GER)
Kontrola autorytatywna (wielkość fizyczna):
  • GND: 4134428-5
  • NDL: 00568941
  • BNCF: 56190
Encyklopedia internetowa:
  • Britannica: science/stress-physics
  • БРЭ: 2248670
  • SNL: spenning_-_mekanikk