Nierówność Poincarégo

Nierówność Poincarégo – rezultat dotyczący ograniczania normy L p {\displaystyle L^{p}} funkcji (pomniejszonej o średnią całkową) z przestrzeni Sobolewa przez normę jej gradientu.

Wypowiedź

Niech 1 ⩽ p < + ∞ {\displaystyle 1\leqslant p<+\infty } oraz Ω {\displaystyle \Omega } będzie otwartym, ograniczonym i spójnym podzbiorem R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} o brzegu klasy C 1 . {\displaystyle C^{1}.} Wtedy istnieje taka stała C > 0 , {\displaystyle C>0,} że dla każdej funkcji u {\displaystyle u} należącej do przestrzeni Sobolewa W 1 , p ( Ω ) {\displaystyle W^{1,p}(\Omega )} zachodzi:

‖ u − ( u ) Ω ‖ L p ⩽ C ‖ ∇ u ‖ L p , {\displaystyle \|u-(u)_{\Omega }\|_{L^{p}}\leqslant C\|\nabla u\|_{L^{p}},}

gdzie:

  • ( u ) Ω = 1 m ( Ω ) ∫ Ω u ( x ) d x {\displaystyle (u)_{\Omega }={\frac {1}{m(\Omega )}}\int _{\Omega }u(x)dx} jest średnią całkową funkcji u {\displaystyle u} na Ω , {\displaystyle \Omega ,}
  • m ( Ω ) {\displaystyle m(\Omega )} oznacza miarę Lebesgue’a na R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} zbioru Ω , {\displaystyle \Omega ,}
  • ‖ ∇ u ‖ L p {\displaystyle \|\nabla u\|_{L^{p}}} jest dane wzorem:
‖ ∇ u ‖ L p = ( ∑ j = 1 n ‖ ∂ u ∂ x j ‖ L p p ) 1 / p . {\displaystyle \|\nabla u\|_{L^{p}}=(\sum _{j=1}^{n}\|{\frac {\partial u}{\partial x_{j}}}\|_{L^{p}}^{p})^{1/p}.}

Bibliografia

  • Lawrence C. Evans: Równania różniczkowe cząstkowe. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002.