Niezmiennik

Niezmiennik (inwariant) – cecha lub właściwość, która jest stała (nie zmienia się) w trakcie przekształceń, procesów przemiany itp.

Bardziej formalnie, jeśli klasa obiektów ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ wyposażona jest w relację równoważności ρ, a ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ jest dowolnym zbiorem, to niezmiennikiem (relacji równoważności ρ) nazywamy dowolną funkcję ${\displaystyle \phi :{\mathfrak {M}}\to {\mathcal {N}}}$ stałą na klasach abstrakcji relacji ρ. Nieco ściślej możemy wtedy mówić o niezmienniku relacji równoważności ρ. Jeśli ${\displaystyle X\in {\mathfrak {M}},}$ to często się mówi, że ${\displaystyle \phi (X)}$ jest niezmiennikiem obiektu ${\displaystyle X}$^[1].

Problem istnienia niezmienników jest ściśle związany z problemami klasyfikacji obiektów matematycznych. Celem każdej klasyfikacji matematycznej jest bowiem skonstruowanie zupełnego układu niezmienników^[1].

Termin „niezmiennik” został wprowadzony przez amerykańskiego matematyka Jamesa Josepha Sylvestra w roku 1851^[1].

Przykłady niezmienników

• Niech ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ będzie zbiorem płaskich krzywych rzeczywistych drugiego stopnia, a relacja ρ niech będzie relacją zdefiniowaną następująco:

krzywa ${\displaystyle \Gamma \in {\mathfrak {M}}}$ jest równoważna krzywej ${\displaystyle \Gamma '\in {\mathfrak {M}}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z nich jest obrazem izometrycznym drugiej.

Jeśli krzywa ${\displaystyle \Gamma \in {\mathfrak {M}}}$ jest w kartezjańskim układzie współrzędnych dana równaniem

${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dx+2Ey+F=0,}$

to liczby

${\displaystyle \sigma (\Gamma )=A+C,\;\delta (\Gamma )={\begin{vmatrix}A&B\\B&C\end{vmatrix}},\;\Delta (\Gamma )={\begin{vmatrix}A&B&D\\B&C&E\\D&E&F\end{vmatrix}}}$

nie zależą od wyboru układu współrzędnych, choć samo równanie linii zależy. Dwie krzywe są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy te trzy wielkości są dla nich takie same^[1]. Każda z tych wielkości jest funkcją ${\displaystyle {\mathfrak {M}}\to \mathbb {R} }$ stałą na klasach abstrakcji relacji równoważności ρ, a więc jest niezmiennikiem określonym na ${\displaystyle {\mathfrak {M}}.}$

• Niech ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ będzie zbiorem uporządkowanych czwórek współliniowych punktów rzeczywistej przestrzeni rzutowej. Dwie czwórki są równoważne, jeśli jedna z nich jest obrazem drugiej przy przekształceniu rzutowym przestrzeni. Jak wiadomo, przekształcenie rzutowe nie zmienia dwustosunku czwórek uporządkowanych punktów współliniowych, czyli dwustosunek jest ich niezmiennikiem.
• Według Kleina geometria afiniczna przestrzeni trójwymiarowej jest teorią niezmienników grupy przekształceń liniowych zawierającej: przesunięcia równoległe, obroty dokoła środka układu współrzędnych O, symetrie względem tego samego środka O, homotetie o środku O^[2]. W oryginalnym tekście Klein nie używa co prawda nazwy geometria afiniczna, ale z wyszczególnienia przekształceń wynika, że o tę geometrię mu chodziło. Takimi cechami niezmienniczymi są na przykład: równoległość prostych, leżenie punktów na jednej prostej, leżenie punktów na jednej płaszczyźnie.

Zobacz też

• całka ruchu
• niezmiennik j
• niezmiennik metryczny
• niezmiennik pętli
• niezmiennik przekształcenia
• niezmiennik przekształcenia geometrycznego
• niezmiennik relatywistyczny
• niezmiennik topologiczny

Przypisy