Obiekty początkowy i końcowy

Obiekt początkowy (końcowy) – dla ustalonej kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ obiekt ${\displaystyle E}$ o tej własności, że dla każdego obiektu ${\displaystyle A}$ tej kategorii istnieje dokładnie jeden morfizm ${\displaystyle h\colon E\to A}$ (odpowiednio ${\displaystyle h\colon A\to E}$). Obiekty początkowy i końcowy danej kategorii, o ile tylko istnieją, są wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do (jedynego) izomorfizmu. Obiekt, który jest jednocześnie początkowy i końcowy, nazywany jest obiektem zerowym kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {K}}.}$

Przykłady

• Zbiór pusty jest obiektem początkowym w kategorii wszystkich zbiorów. Każdy zbiór jednoelementowy jest obiektem końcowym tej kategorii.
• W kategorii wszystkich grup obiektem początkowym, a zarazem końcowym (a więc zerowym), jest grupa jednoelementowa.
• W kategorii punktowanych przestrzeni topologicznych (tj. przestrzeni z wyróżnionym punktem, w której od morfizmów wymagamy, by przeprowadzały wyróżnione punkty na wyróżnione punkty), obiektem zerowym jest przestrzeń jednopunktowa.
• W kategorii wszystkich pierścieni z jedynką obiektem początkowym jest pierścień liczb całkowitych, obiektem końcowym natomiast pierścień zerowy.
• Każdy zbiór częściowo uporządkowany ${\displaystyle (P,\preceq )}$ może być rozpatrywany jako kategoria, której obiektami są elementy zbioru ${\displaystyle P.}$ Powiemy, że istnieje morfizm między elementami ${\displaystyle x,y\in P}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle x\preceq y.}$ Kategoria ta ma obiekt początkowy (końcowy) wtedy i tylko wtedy, gdy w zbiorze ${\displaystyle P}$ istnieje element najmniejszy (odpowiednio największy).

Bibliografia

• Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987, s. 66.

Linki zewnętrzne

• Final object (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].