Pierścień przemienny

Pierścień przemienny (rzad. komutatywny) – pierścień, w którym mnożenie jest przemienne („komutatywne”), czyli którego wszystkie elementy ze sobą komutują, tj. dla dowolnych elementów ${\displaystyle a,b}$ danego pierścienia ${\displaystyle R}$ zachodzi ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a.}$

Badaniem pierścieni przemiennych zajmuje się algebra przemienna. Często zakłada się dodatkowo istnienie w takim pierścieniu elementu neutralnego mnożenia (zob. pierścień z jedynką)^[1].

Przykłady

• Prototypowym przykładem pierścienia przemiennego (z jedynką) jest pierścień liczb całkowitych wraz z naturalnymi działaniami dodawania i mnożenia.
• Dowolne ciało, jak np. ciała liczb wymiernych, rzeczywistych i zespolonych, jest pierścieniem przemiennym.
• Zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy kwadratowych stopnia ${\displaystyle 2}$ z działaniami dodawania i mnożenia macierzy tworzy pierścień, który nie jest przemienny, przykładowo:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}1&2\\1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.}$

• Pierścienie klas reszt modulo ${\displaystyle n}$ są przemienne dla dowolnego ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$
• Jeżeli ${\displaystyle R}$ jest pierścieniem przemiennym, to zbiór wszystkich wielomianów zmiennej ${\displaystyle X}$ o współczynnikach z ${\displaystyle R}$ wraz z naturalnymi działaniami dodawania i mnożenia wielomianów tworzy pierścień wielomianów ${\displaystyle R[X],}$ który również jest przemienny.
• Zbiór wszystkich liczb postaci ${\displaystyle a+b{\sqrt {5}},}$ gdzie ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ są dowolnymi liczbami całkowitymi.
• Twierdzenie Wedderburna^[2]: każdy skończony pierścień z dzieleniem (tj. taki, w którym każdy niezerowy element jest odwracalny), jest przemienny (a więc jest ciałem).

Przypisy