Porządek ciągły

Porządek ciągły – własność porządków liniowych po raz pierwszy rozważana przez Richarda Dedekinda w 1872^[1]; jest ona wzmocnieniem zupełności i w terminach topologicznych jest równoważna spójności topologii przedziałowej.

Nazwa

Nazwa porządek ciągły wskazuje na motywację, jaką było opisanie i konstrukcja prostej rzeczywistej jako obiektu ciągłego podana przez Dedekinda w jego pracy z 1872^[2]. Wprowadzone przez niego warunki (i)-(iv) są, we współczesnym języku, stwierdzeniem że porządek liczb rzeczywistych jest ciągły (a kluczowa własność (iv) ma właśnie nazwę ciągłości).

W literaturze polskojęzycznej termin ten jest używany dość systematycznie^[3][4][5]. We współczesnej literaturze angielskojęzycznej częściej używa się bardziej opisowego określenia gęsty zupełny porządek liniowy (complete dense linear order).

Porządek ciągły to taki gęsty porządek liniowy A w którym żadne właściwe cięcie w A nie ustala skoku w danym zbiorze A. Brak skoków jest powodem dla którego mówimy, że zbiór jest uporządkowany ciągle.

Definicje formalne

Niech ${\displaystyle (A,\leqslant )}$ będzie porządkiem liniowym.

• Porządek ${\displaystyle (A,\leqslant )}$ jest porządkiem gęstym jeśli A ma przynajmniej dwa elementy oraz między dowolnymi dwoma elementami A znajduje się trzeci element, tzn.^{[potrzebny przypis]}

${\displaystyle \forall _{a\in A}\forall _{b\in A}(a<b)\Rightarrow \ \exists _{c\in A}(a<c<b).}$

• Podzbiór ${\displaystyle B\subseteq A}$ porządku A jest ograniczony z góry jeśli istnieje element ${\displaystyle a\in A}$ większy niż wszystkie elementy zbioru B, tzn. taki, że

${\displaystyle \forall _{b\in B}(b\leqslant a).}$

Analogicznie podzbiór ${\displaystyle B\subseteq A}$ jest ograniczony z dołu jeśli istnieje element ${\displaystyle a\in A}$ taki, że

${\displaystyle \forall _{b\in B}(a\leqslant b).}$

• Porządek ${\displaystyle (A,\leqslant )}$ jest ciągły jeśli jest to porządek gęsty oraz każdy podzbiór zbioru A jest ograniczony, tzn. ograniczony z góry i z dołu, czyli ma zarówno kres górny, jak i dolny.

Zobacz też

• aksjomat ciągłości
• przekrój Dedekinda

Przypisy

Linki zewnętrzne

• John L.J.L. Bell John L.J.L., Continuity and Infinitesimals, [w:] Stanford Encyclopedia of Philosophy, CSLI, Stanford University, 6 września 2013, ISSN 1095-5054 [dostęp 2018-01-16]  (ang.).