Powierzchnia

Ten artykuł dotyczy dwuwymiarowych struktur w przestrzeni. Zobacz też: pole powierzchni.

Zobacz hasło powierzchnia w Wikisłowniku

Powierzchnia – zbiór punktów (miejsce geometryczne) o tej własności, iż można wokół każdego jej punktu zbudować (niewielką) sferę, która w przecięciu z tym zbiorem daje jedynie obiekty jednowymiarowe (krzywe). Jest to trójwymiarowy odpowiednik pojęcia krzywej. Powierzchnia jest także potocznym określeniem pola powierzchni.

Definicja formalna

Powierzchnia to continuum o wymiarze 2, tj. takie continuum, iż każdy jego punkt posiada pewne otoczenie, którego brzeg nie zawiera żadnego continuum o wymiarze 2 lub wyższym jednak zawiera continuum o wymiarze 1.

Powierzchnia może w szczególności rozgałęziać się.

Klasyfikacja powierzchni w topologii algebraicznej

Zwarte domknięte (bez brzegu) powierzchnie (czyli takie dla których otoczenie każdego punktu jest homeomorficzne z ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$) można podzielić na klasy równoważności zgodnie z relacją równoważności zadaną przez homeomorfizm. Twierdzenie o klasyfikacji powierzchni mówi wtedy, że takich klas równoważności jest przeliczalnie wiele i każda z nich ma reprezentanta jednej z 3 postaci:

1. Sferę ${\displaystyle S^{2}}$
2. Sumę spójną (wzdłuż ${\displaystyle S^{1}}$) g torusów dla ${\displaystyle g\geqslant 1}$
3. Sumę spójną (wzdłuż ${\displaystyle S^{1}}$) k kopii ${\displaystyle \mathbb {R} P^{2}}$ dla ${\displaystyle n\geqslant 1}$

Pozwala to na klasyfikacje powierzchni na podstawie tylko dwóch informacji: genusu oraz czy przestrzeń jest orientowalna. Dodatkowo przestrzenie orientowalne mają nietrywialną najwyższą grupę homologii ${\displaystyle H_{2}(\Sigma _{g})=\mathbb {Z} }$ a nieorientowalne nie ${\displaystyle (H_{2}(\Gamma _{k})=0).}$

Przykłady powierzchni

• helikoida
• hiperboloida
• płaszczyzna
• powierzchnia stożkowa
• powierzchnia wielościenna
• rogata sfera Alexandera
• sfera
• torus

Bibliografia

• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-79160-X.brak strony w książce