Prawo Stefana-Boltzmanna

Prawo Stefana-Boltzmanna – prawo opisujące całkowitą moc wypromieniowywaną przez ciało doskonale czarne w danej temperaturze.

Prawo zostało opracowane doświadczalnie przez Jožefa Stefana w 1878 r., a wykazane na podstawie praw termodynamicznych w 1884 r. przez Ludwiga Boltzmanna^[1].

Wzór

${\displaystyle \Phi =\sigma T^{4},}$

gdzie:

${\displaystyle \Phi }$ – strumień energii wypromieniowywany z jednostki powierzchni ciała [${\displaystyle \mathrm {W/m^{2}} }$],

${\displaystyle \sigma }$ – stała Stefana-Boltzmanna,

${\displaystyle T}$ – temperatura w skali Kelvina.

Stała Stefana-Boltzmanna wynosi^[2]:

${\displaystyle \sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15h^{3}c^{2}}}=5{,}670367(13)\times 10^{-8}\mathrm {\frac {W}{m^{2}K^{4}}} .}$

Wyprowadzenie

Prawo Stefana-Boltzmanna można wyprowadzić, korzystając z rozkładu Bosego-Einsteina dla fotonów zamkniętych w pudełku o objętości V. Średnia energia fotonów w danej temperaturze T wynosi:

${\displaystyle \langle E\rangle =\int \limits _{0}^{\infty }\hbar \omega \rho (\omega ){\frac {1}{\exp \left({\frac {\hbar \omega }{kT}}\right)-1}}\mathrm {d} \omega ,}$

gdzie:

${\displaystyle \omega }$ – częstotliwość fotonów,

${\displaystyle \rho (\omega )}$ – gęstość stanów dla fotonów,

${\displaystyle \hbar }$ – stała Diraca,

${\displaystyle k}$ – stała Boltzmanna.

Podstawienie wartości

${\displaystyle \rho (\omega )={\frac {V\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}}$

daje

${\displaystyle \langle E\rangle ={\frac {V\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}\int \limits _{0}^{\infty }\omega ^{3}{\frac {1}{\exp \left({\frac {\hbar \omega }{kT}}\right)-1}}\mathrm {d} \omega .}$

Wartością tej całki jest:

${\displaystyle \langle E\rangle ={\frac {6V\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}\left({\frac {kT}{\hbar }}\right)^{4}\zeta (4),}$

gdzie:

${\displaystyle \zeta (4)}$ – wartość funkcji zeta Riemanna.

Powyższy wynik jest równoważny prawu Stefana-Boltzmanna.

Zobacz też

• wektor Poyntinga

Przypisy