Przestrzeń Tichonowa

Przestrzeń Tichonowa, przestrzeń T_3½ i przestrzeń całkowicie regularna to terminy w topologii opisujące tę samą lub bardzo pokrewne własności oddzielania. Dokładniej, mówi się, że przestrzeni topologicznej ${\displaystyle X}$ punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez funkcje ciągłe jeśli

dla każdego zbioru domkniętego podzbioru ${\displaystyle F}$ przestrzeni ${\displaystyle X}$ i dowolnego punktu ${\displaystyle x\in X\setminus F}$ można znaleźć taką funkcję ciągłą ${\displaystyle f\colon X\longrightarrow [0,1],}$ że ${\displaystyle f(x)=0}$ i ${\displaystyle f(y)=1}$ dla wszystkich punktów ${\displaystyle y}$ ze zbioru ${\displaystyle F.}$

Przestrzeń topologiczna ${\displaystyle X}$ nazywa jest przestrzenią Tichonowa, gdy ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią T₁ w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez funkcje ciągłe.

Dyskusja nazewnictwa

Istnieją pewne niekonsekwencje w użyciu terminów przestrzeń Tichonowa, przestrzeń T_3½ i przestrzeń całkowicie regularna w literaturze. Na przykład Kuratowski w swojej monografii^[1] definiuje

• przestrzeń całkowicie regularną jako przestrzeń topologiczną w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez funkcje ciągłe, oraz
• przestrzeń Tichonowa jako przestrzeń całkowicie regularną która spełnia także Aksjomat T₁.

Z drugiej strony Engelking definiuje^[2]

• bycie przestrzenią Tichonowa, bycie przestrzenią ${\displaystyle T_{3{\frac {1}{2}}}}$ i bycie przestrzenią całkowicie regularną jako tę samą własność (pokrywającą się z naszym znaczeniem przestrzeni Tichonowa).

Z powodu tych i podobnych rozbieżności, czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce. Wydaje się jednak że terminologia stosowana przez Engelkinga jest najbardziej popularna i my także będziemy się jej trzymać.

Termin topologia Tichonowa został wprowadzona dla uczczenia rosyjskiego matematyka Tichonowa (ros. Андрей Николаевич Тихонов).

Przykłady

Następujące przestrzenie topologiczne są przestrzeniami Tichonowa:

• przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne,
• przestrzenie normalne,
• grupy topologiczne będące przestrzeniami T₁,
• płaszczyzna Niemyckiego.

Płaszczyzna Niemyckiego nie jest przestrzenią normalną, a więc własność bycia przestrzenią T_3½ jest istotnie różna od własności bycia przestrzenią T₄.

Znane są przykłady przestrzeni T₃, które nie są całkowicie regularne. Na przykład podzbiór

${\displaystyle M=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y\geqslant 0\}\cup \{(0,-1)\}}$

płaszczyzny z topologią wprowadzoną przez bazę otoczeń ${\displaystyle {\mathcal {B}}(x,y)}$ określoną dla każdego elementu ${\displaystyle (x,y)}$ zbioru ${\displaystyle M}$ i opisaną warunkami:

• jeśli ${\displaystyle y>0,}$ to ${\displaystyle {\mathcal {B}}(x,y)=\{\{(x,y)\}\},}$
• jeśli ${\displaystyle y=0,}$ to ${\displaystyle {\mathcal {B}}(x,y)}$ składa się ze wszystkich zbiorów postaci

${\displaystyle \{(x,v)\in \mathbb {R} ^{2}:0\leqslant v\leqslant 2\ \}\cup \{(x+v,v)\in \mathbb {R} ^{2}:0\leqslant v\leqslant 2\}\setminus B,}$ gdzie ${\displaystyle B}$ jest dowolnym skończonym podzbiorem zbioru ${\displaystyle M,}$

• ${\displaystyle {\mathcal {B}}(0,-1)=\{U_{i}:i=1,2,3,\dots \},}$ gdzie

${\displaystyle U_{i}=\{(0,-1)\}\cup \{(u,v)\in \mathbb {R} ^{2}:i\leqslant u\}.}$

jest przestrzenią T₃, która nie jest przestrzenią T_3½^{[potrzebny przypis]}.

Własności

• Każda przestrzeń Tichonowa jest przestrzenią T₃.
• Podzbiór przestrzeni Tichonowa traktowany jako przestrzeń topologiczna jest znów przestrzenią Tichonowa. Własność być przestrzenią Tichonowa jest więc własnością dziedziczną.
• Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni T_3½ jest przestrzenią T_3½.
• Każda przestrzeń Tichonowa może być zanurzona w zwartą przestrzeń Hausdorffa. Ten fakt jest jednym z głównych źródeł zainteresowania przestrzeniami T_3½, jako że to są dokładnie te przestrzenie które mają uzwarcenia Hausdorffa.

Zobacz też

• aksjomaty oddzielania
• przestrzeń regularna ${\displaystyle (T_{3})}$
• przestrzeń normalna ${\displaystyle (T_{4})}$

Przypisy