Przestrzeń liniowo-topologiczna

Przestrzeń liniowo-topologiczna – przestrzeń liniowa z określoną w niej topologią, dla której działania dodawania wektorów i mnożenia przez skalar są ciągłe. O topologii dodatkowo zakłada się, że każdy punkt tej przestrzeni jest zbiorem domkniętym, innymi słowy przestrzeń spełnia pierwszy aksjomat oddzielania.

Można udowodnić, że każda przestrzeń liniowo-topologiczna jest przestrzenią Hausdorffa, a nawet jest przestrzenią regularną. Grupa addytywna przestrzeni liniowo-topologicznej jest grupą topologiczną. Każda przestrzeń unormowana (a więc np. dowolna przestrzeń Banacha czy Hilberta) jest przestrzenią liniowo-topologiczną.

Przestrzenie liniowo-topologiczne są głównym obiektem badań analizy funkcjonalnej. Najczęściej rozważane są przestrzenie liniowo-topologiczne będące przestrzeniami funkcyjnymi.

Definicja

Niech ${\displaystyle (X,+,\cdot )}$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem ${\displaystyle K}$ liczb rzeczywistych bądź zespolonych i niech ${\displaystyle \tau }$ będzie topologią w zbiorze ${\displaystyle X.}$

Przestrzeń ${\displaystyle (X,+,\cdot ,\tau )}$ nazywa się przestrzenią liniowo-topologiczną, gdy ${\displaystyle (X,\tau )}$ jest T₁-przestrzenią oraz dodawanie ${\displaystyle +\colon X\times X\to X}$ i mnożenie przez skalar ${\displaystyle \cdot \colon K\times X\to X}$ są ciągłe (w sensie odpowiednich topologii produktowych).

Własności

Dla każdego punktu ${\displaystyle x_{0}\in X}$ i każdego skalara ${\displaystyle \alpha \in K\setminus \{0\}}$ odwzorowania: ${\displaystyle x\mapsto x+x_{0},\;x\in X}$ i ${\displaystyle x\mapsto \alpha x,\;x\in X}$ są homeomorfizmami przestrzeni ${\displaystyle X}$ na przestrzeń ${\displaystyle X.}$ Zasadne jest więc badanie pewnych własności przestrzeni liniowo-topologicznych tylko w odniesieniu do otoczeń zera, gdyż analogiczne wyniki przenoszą się w naturalny sposób przez homeomorfizmy na inne punkty. Domknięcie podprzestrzeni liniowej przestrzeni liniowo-topologicznej jest nadal jej podprzestrzenią. Dowodzi się także, że dowolne rozłączne domknięte i zwarte podzbiory przestrzeni ${\displaystyle X}$ dają się oddzielać zbiorami otwartymi.

Zbiory ograniczone

Nie każda przestrzeń liniowo-topologiczna jest metryzowalna, więc istnieje potrzeba wprowadzenia ogólniejszej definicji zbioru ograniczonego. Zbiór ${\displaystyle A}$ nazywa się ograniczonym, gdy dla każdego otoczenia zera ${\displaystyle U\subseteq X}$ istnieje ${\displaystyle \alpha \in (0,\infty ),}$ że ${\displaystyle A\subseteq \alpha U=\{\alpha u\colon \;u\in U\}.}$

Można wykazać, że jeśli ${\displaystyle X}$ jest jednocześnie przestrzenią unormowaną, to definicja ta jest równoważna klasycznej definicji zbioru ograniczonego. Nie jest na ogół prawdą, że jeśli ${\displaystyle X}$ jest jednocześnie przestrzenią metryczną, to powyższa definicja jest równoważna klasycznej definicji zbioru ograniczonego, nie musi być to prawda nawet wtedy, gdy metryka ${\displaystyle \varrho }$ na ${\displaystyle X}$ jest niezmiennicza, tzn. spełnia warunek ${\displaystyle \varrho (x,y)=\varrho (x+z,y+z)}$ dla ${\displaystyle x,y,z\in X.}$

Charakteryzacja zbiorów ograniczonych

Równoważnie, zbiór ${\displaystyle A}$ jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otoczenia zera ${\displaystyle U\subseteq X}$ istnieje takie ${\displaystyle \alpha \in (0,\infty ),}$ że dla każdego ${\displaystyle \beta \in [\alpha ,\infty )}$ zbiór ${\displaystyle A}$ zawiera się w zbiorze ${\displaystyle \beta U.}$

Ograniczony podzbiór przestrzeni liniowo-topologicznej można także scharakteryzować w sposób równoważny, nieco bliższy intuicji:
Zbiór ${\displaystyle A\subseteq X}$ jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\alpha _{n}x_{n}=0}$

dla każdego ciągu ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ elementów tego zbioru i każdego ciągu ${\displaystyle (\alpha _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ elementów ciała ${\displaystyle K,}$ zbieżnego do zera.

Zbiory zbalansowane

Zbiór ${\displaystyle A\subseteq X}$ nazywa się zbalansowanym, gdy dla każdego ${\displaystyle \alpha \in K}$ takiego, że ${\displaystyle |\alpha |\leqslant 1}$ zbiór ${\displaystyle \alpha A\subseteq A.}$

Domknięcie zbioru zbalansowanego jest zbiorem zbalansowanym. Wnętrze zbioru zbalansowanego jest zbiorem zbalansowanym, o ile zawiera ono zero. Dodatkowo, każde otoczenie zera zawiera zbalansowane otoczenie zera, a każde wypukłe otoczenie zera zawiera otoczenie będące jednocześnie zbiorem wypukłym i zbalansowanym.

Klasy przestrzeni liniowo-topologicznych

W literaturze matematycznej, często spotyka się następujące nazewnictwo związane z przestrzeniami liniowo-topologicznymi. Mówi się, że przestrzeń liniowo-topologiczna (X, τ) jest:

• lokalnie wypukła, gdy w X istnieje baza otoczeń, której elementy są zbiorami wypukłymi;
• lokalnie ograniczona, jeśli zero ma ograniczone otoczenie;
• lokalnie zwarta, jeśli zero ma otoczenie, którego domknięcie jest zwarte;
• F-przestrzenią^[1], jeśli τ jest zadana przez zupełną, niezmienniczą metrykę;
• przestrzenią Frécheta^[1] jeśli jest lokalnie wypukłą F-przestrzenią;
• normowalna, jeśli w X istnieje taka norma, że metryka zadana przez tę normę jest zgodna z τ (zob. twierdzenie Kołmogorowa o normowaniu przestrzeni liniowo-topologicznych). Ważną podklasą przestrzeni normowalnych jest klasa przestrzeni Banacha.
• przestrzenią mającą własność Heinego-Borela, gdy każdy domknięty i ograniczony jej podzbiór jest zwarty.

Każda przestrzeń lokalnie ograniczona ma przeliczalną bazę otoczeń^[2]. Przestrzeń X jest natomiast normowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest lokalnie wypukła i lokalnie ograniczona. Przestrzeń X ma skończony wymiar wtedy i tylko wtedy, gdy jest lokalnie zwarta. Jeśli lokalnie ograniczona przestrzeń X ma własność Heinego-Borela, to ma skończony wymiar.

Przykład

Produkt dowolnej rodziny przestrzeni liniowo-topologicznych jest nadal przestrzenią liniowo-topologiczną.

Na przykład przestrzeń ${\displaystyle X}$ wszystkich funkcji rzeczywistych ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ może być utożsamiany z przestrzenią ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} },}$ wyposażoną w topologię Tichonowa. Topologię na ${\displaystyle X}$ nazywa się topologią zbieżności punktowej (zob. zbieżność punktowa ciągu funkcji). Przestrzeń ta nie jest metryzowalna, a więc i nie normowalna.

Ciągi Cauchy’ego

 Osobny artykuł: ciąg Cauchy’ego#Przestrzenie liniowo-topologiczne.

Przypisy

Bibliografia

• Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001, s. 19–24.