Przestrzeń rzutowa

Przestrzeń rzutowa – modyfikacja przestrzeni geometrycznej poprzez dołączenie do zbioru punktów przestrzeni wszystkich kierunków tej przestrzeni^[1]. W tak powiększonej przestrzeni każde dwie różne proste rzutowe leżące na jednej płaszczyźnie rzutowej posiadają punkt wspólny właściwy lub niewłaściwy zwany punktem w nieskończoności.

W szerszym ujęciu: jest to przestrzeń euklidesowa Eⁿ, do której dołączono wszystkie kierunki tej przestrzeni, oznaczana symbolem Pⁿ. Przestrzeń P¹ jest homeomorficzna z okręgiem^[a], przestrzeń P² jest homeomorficzna ze wstęgą Möbiusa, w której brzeg wklejono koło (dysk), i tworzy płaszczyznę rzutową rzeczywistą.

Definicja formalna

Niech ${\displaystyle K}$ będzie ciałem oraz ${\displaystyle K^{n}}$ niech będzie iloczynem kartezjańskim ${\displaystyle n}$ kopii tego ciała, ${\displaystyle n\geqslant 1.}$

Niech ${\displaystyle R}$ będzie relacją 2-argumentową w zbiorze ${\displaystyle K^{n}\backslash \{(0,0,\dots ,0)\}}$ zdefiniowaną następująco:

${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})R(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego ${\displaystyle \alpha \in K,\ \alpha \neq 0}$ zachodzi ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=(\alpha y_{1},\alpha y_{2},\dots ,\alpha y_{n})}$

Relacja ${\displaystyle R}$ jest równoważnością.

Zbiór klas abstrakcji relacji ${\displaystyle R,}$ czyli zbiór ${\displaystyle K^{n}\backslash \{(0,0,\dots ,0)\}/_{R}}$ nazywa się przestrzenią rzutową wymiaru ${\displaystyle n-1}$ i jest oznaczany P^n-1.

Zgodnie z definicją, P⁰ jest zbiorem jednoelementowym, czyli punktem.

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

• Encyklopedia dla wszystkich. Warszawa: WNT, 2000, s. 135. ISBN 83-204-2334-1.