Punkt eksponowany

Punkt eksponowany – punkt x 0 {\displaystyle x_{0}} domkniętego podzbioru wypukłego K {\displaystyle K} przestrzeni liniowo-topologicznej X {\displaystyle X} o tej własności, że istnieje ciągły funkcjonał liniowy f ∈ X ∗ , {\displaystyle f\in X^{*},} który jest ograniczony z góry na K , {\displaystyle K,} tj.

sup x ∈ K R e ⟨ f , x ⟩ < ∞ , {\displaystyle \sup _{x\in K}\mathrm {Re} \,\langle f,x\rangle <\infty ,}

oraz x 0 {\displaystyle x_{0}} jest jedynym takim punktem w K , {\displaystyle K,} że[1]:

sup x ∈ K R e ⟨ f , x ⟩ = R e ⟨ f , x 0 ⟩ , {\displaystyle \sup _{x\in K}\mathrm {Re} \,\langle f,x\rangle =\mathrm {Re} \,\langle f,x_{0}\rangle ,}

tj. x 0 {\displaystyle x_{0}} jest jedynym punktem K {\displaystyle K} w którym (część rzeczywista) f {\displaystyle f} osiąga swoje maksimum na K . {\displaystyle K.} Innymi słowy, punkt x 0 {\displaystyle x_{0}} jest eksponowany, gdy istnieje taka hiperpłaszczyzna podpierająca H {\displaystyle H} zbioru K , {\displaystyle K,} że[2]:

H ∩ K = { x 0 } . {\displaystyle H\cap K=\{x_{0}\}.}

Zbiór punktów eksponowanych danego zbioru wypukłego K {\displaystyle K} oznaczany bywa symbolem exp ⁡ K . {\displaystyle \exp K.}

Pojęcie zostało wprowadzone w 1935 roku przez Stefana Straszewicza[3].

Związek z punktami ekstremalnymi

 Osobne artykuły: punkt ekstremalny i twierdzenie Straszewicza.
Zbiór wypukły (kolor czerwony) wraz z zaznaczonymi punktami ekstremalnymi, które nie są eksponowane

Niech K {\displaystyle K} będzie domkniętym i wypukłym podzbiorem przestrzeni liniowo-topologicznej. Każdy punkt eksponowany zbioru K {\displaystyle K} jest również punktem ekstremalnym[1]. Przeciwna implikacja nie zachodzi nawet na płaszczyźnie. Istotnie, niech K {\displaystyle K} będzie sumą prostokąta [ − 1 , 1 ] × [ − 1 , 0 ] {\displaystyle [-1,1]\times [-1,0]} oraz domkniętego koła o środku w zerze i promieniu 1. Wówczas punkty ( − 1 , 0 ) , ( 1 , 0 ) {\displaystyle (-1,0),(1,0)} są ekstremalne, ale nie są eksponowane, gdyż (jedyne) hiperpłaszczyzny podpierające zawierające te punkty zawierają także odpowiednie boki prostokąta [ − 1 , 1 ] × [ − 1 , 0 ] {\displaystyle [-1,1]\times [-1,0]} (zob. grafika obok). W skończonych wymiarach, każdy punkt ekstremalny zwartego zbioru wypukłego K {\displaystyle K} w przestrzeni euklidesowej jest granicą ciągu punktów eksponowanych (twierdzenie Straszewicza). W szczególności,

K = c o n v ¯ exp K . {\displaystyle K={\overline {\mathrm {conv} }}\,\exp \,K.} [2]

Punkty mocno eksponowane

Niech K {\displaystyle K} będzie domkniętym i wypukłym podzbiorem przestrzeni liniowo-topologicznej. Punkt x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} jest mocno eksponowany, gdy istnieje taki funkcjonał f ∈ X ∗ , {\displaystyle f\in X^{*},} że dla każdego ciągu ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} elementów K , {\displaystyle K,} jeżeli

R e ⟨ f , x n ⟩ → sup x ∈ K R e ⟨ f , x ⟩ , {\displaystyle \mathrm {Re} \,\langle f,x_{n}\rangle \to \sup _{x\in K}\mathrm {Re} \,\langle f,x\rangle ,}

to x n → x 0 . {\displaystyle x_{n}\to x_{0}.}

Zbiór punktów mocno eksponowanych zbioru K {\displaystyle K} oznaczany bywa symbolem stexp ⁡ K . {\displaystyle \operatorname {stexp} K.}

Każdy punkt mocno eksponowany jest eksponowany. W przypadku, gdy zbiór K {\displaystyle K} jest dodatkowo zwarty, to każdy punkt eksponowany jest też mocno eksponowany[4]. Każdy punkt ekstremalny kuli jednostkowej przestrzeni ℓ∞ jest *-słabo eksponowany, tj. funkcjonał f {\displaystyle f} można dobrać z przestrzeni ℓ1[5]. Lindenstrauss i Phelps wykazali, że w każdej ośrodkowej przestrzeni refleksywnej da się wprowadzić normę równoważną, której kula jednostkowa ma co najwyżej przeliczalnie wiele punktów mocno eksponowanych[6]

Punkty mocno eksponowane słabo zwartych zbiorów wypukłych

Niech X {\displaystyle X} będzie przestrzenią Banacha oraz niech K {\displaystyle K} będzie wypukłym i słabo zwartym podzbiorem X . {\displaystyle X.} Lindenstrauss[7], a także Troyanski[8], udowodnili, że

K = c o n v ¯ s t e x p K . {\displaystyle K={\overline {\mathrm {conv} }}\,\mathrm {stexp} \,K.}

Lau wykazał, że zbiór tych funkcjonałów f ∈ X ∗ , {\displaystyle f\in X^{*},} które świadczą o tym, że dany podzbiór słabo zwartego zbioru wypukłego jest mocno eksponowany jest typu Gδ[9].

Przypisy

  1. ↑ a b Megginson 1998 ↓, s. 270.
  2. ↑ a b Schneider 1993 ↓, s. 18.
  3. ↑ S. Straszewicz, Über exponierte Punkte abgeschlossener Punktmengen, Fund. Math., 24 (1935), 139–143.
  4. ↑ Fabian et al. 2011 ↓, s. 416.
  5. ↑ Fabian et al. 2011 ↓, s. 417.
  6. ↑ J. Lindenstrauss, R.R. Phelps, Extreme point properties of convex bodies in reflexive Banach spaces, Israel J. Math., 6 (1968), 39–48.
  7. ↑ J. Lindenstrauss, On operators which attain their norm, Israel J. Math. 1 (1963), 139–148.
  8. ↑ S.L. Troyanski, On locally uniformly convex and differentiable norms in certain non-separable Banach spaces, Studia Math. 37 (1970/71), 173–180.
  9. ↑ K.-S. Lau, A remark on strongly exposing functionals, Proc. Amer. Math. Soc., '59 (1976), 242–244.

Bibliografia

  • M. Fabian, P. Habala, P. Hájek, V. Montesinos, V. Zizler, Banach Space Theory: The Basis for Linear and Nonlinear Analysis, CMS Books in Math. Springer, 2011
  • Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. New York: Springer-Verlag, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
  • Rolf Schneider: Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory. Cambridge University Press, 1993, seria: Encyclopedia of Mathematics and its Applications. ISBN 978-0521352208.