Punkt rozgałęzienia

Punkt rozgałęzienia funkcji analitycznej wieloznacznej ${\displaystyle f}$ to taki punkt ${\displaystyle z_{0},}$ że przedłużając analitycznie tę funkcję dookoła ${\displaystyle z_{0}}$ za pomocą łańcucha kół ${\displaystyle K_{0},K_{1},K_{2},\dots K_{n},}$ takich że:

• każde zawiera ${\displaystyle z_{0},}$
• każde jest przedłużeniem analitycznym poprzedniego,
• koło ${\displaystyle K_{n}}$ ma część wspólną z ${\displaystyle K_{0}}$ inną niż ${\displaystyle \{z_{0}\},}$

uzyskamy w kole ${\displaystyle K_{n}}$ funkcję o innych wartościach niż we wspólnej z ${\displaystyle K_{n}}$ części koła ${\displaystyle K_{0}.}$

Intuicja

Intuicyjnie, przemieszczając punkt ${\displaystyle z}$ po krzywej zamkniętej dookoła punktu rozgałęzienia ${\displaystyle z_{0},}$ wartości ${\displaystyle f(z)}$ będą się zmieniały w sposób ciągły, jednak na końcu pętli wartość ${\displaystyle f(z)}$ będzie inna, niż wartość w tym samym punkcie na początku pętli.

Przykład punktu rozgałęzienia

Przykładem jest punkt ${\displaystyle z_{0}}$ dla funkcji ${\displaystyle \log(z-z_{0}).}$

Właściwości

Funkcja nie jest holomorficzna w pierścieniu otaczającym punkt rozgałęzienia. Nie można jej zatem w tym pierścieniu rozwinąć w szereg Laurenta. Można natomiast określić jej jednoznaczną gałąź w jednospójnym obszarze niezawierającym punktu rozgałęzienia.

Bibliografia

• Witold Pogorzelski: Analiza matematyczna. T. IV. Warszawa: PWN, 1953, s. 91.