Reguła de l’Hospitala lub de l’Hôpitala[a] – zwyczajowa nazwa twierdzenia rachunku różniczkowego, które umożliwia wyznaczenie granic wyrażeń dających w wyniku symbol nieoznaczony.
Rys historyczny
Reguła ta została opisana po raz pierwszy przez Johanna Bernoulliego, opublikowana zaś przez jego ucznia Guillaume’a François Antoine’a de l’Hospitala[a]. W 1696 Guillaume de l’Hospital wydał pierwszy podręcznik rachunku różniczkowego i całkowego L’Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes, w którym zawarte zostało dyskutowane tu twierdzenie. De l’Hospital nigdy nie twierdził, że jest autorem tego twierdzenia[potrzebny przypis], niemniej jednak nazwa reguła de l’Hospitala jest powszechnie używana.
Reguła de l’Hospitala
Bezpośrednio z definicji pochodnej funkcji można wykazać następujące twierdzenie:
Jeżeli funkcje i są określone w przedziale otwartym zawierającym punkt oraz
oraz istnieją (skończone) pochodne i przy czym
wówczas
Jeśli dodatkowo i mają ciągłe pochodne w punkcie to[1]:
Powyższe twierdzenie może być użyteczne w liczeniu granic wielu funkcji, np.
Często zdarza się jednak, że funkcje i nie są określone w punkcie jednak ich iloraz ma w tym punkcie granicę. Prawdziwe jest wówczas następujące twierdzenie, zwane regułą de l’Hospitala:
Wersja podstawowa (dla granic w punkcie)
Niech funkcje i będą określone w przedziale oraz
lub
oraz istnieją (skończone) pochodne i w przedziale przy czym dla
Wówczas, jeśli istnieje granica
to wtedy również
Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic lewostronnych i obustronnych.
Wersja dla granic w nieskończoności
Niech funkcje i będą określone w przedziale oraz
lub
oraz istnieją (skończone) pochodne i w przedziale przy czym dla
Wówczas, jeśli istnieje granica
to wtedy również
Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic gdy
Wersja twierdzenia dla funkcji n-krotnie różniczkowalnych
Jeżeli funkcje i są określone w przedziale otwartym zawierającym punkt oraz
w przedziale istnieją (skończone) pochodne wszystkich rzędów do włącznie funkcji i
oraz
dla
wówczas
Zobacz też
granica funkcji
pochodna funkcji
symbol nieoznaczony
twierdzenie Stolza
Uwagi
↑ abZe względu na ewolucję pisowni francuskiej nazwisko „de l’Hospital” można również pisać „de l’Hôpital” bez (niemego) „s”, lecz z cyrkumfleksem nad „o”, co nie wpływa na wymowę – obie wersje wymawia się [dəlopi'tal].