Rozkład Studenta

Ten artykuł od 2024-05 zawiera treści, przy których brakuje odnośników do źródeł. Należy dodać przypisy do treści niemających odnośników do źródeł. Dodanie listy źródeł bibliograficznych jest problematyczne, ponieważ nie wiadomo, które treści one uźródławiają. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Rozkład Studenta, rozkład t Studenta

Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Parametry	${\displaystyle \nu >0}$ stopni swobody (liczba rzeczywista)
Nośnik	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )}$
Gęstość prawdopodobieństwa	${\displaystyle {\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-({\frac {\nu +1}{2}})}}$
Dystrybuanta	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}+x\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\cdot \\[0.5em]{\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\end{matrix}}}$ gdzie ${\displaystyle _{2}F_{1}}$ jest funkcją hipergeometryczną
Wartość oczekiwana (średnia)	${\displaystyle 0{\text{ dla }}\nu >1,}$ w przeciwnym wypadku nieokreślona
Mediana	${\displaystyle 0}$
Moda	${\displaystyle 0}$
Wariancja	${\displaystyle {\frac {\nu }{\nu -2}}{\text{ dla }}\nu >2,}$ w przeciwnym wypadku nieokreślona
Współczynnik skośności	${\displaystyle 0{\text{ dla }}\nu >3}$
Kurtoza	${\displaystyle {\frac {6}{\nu -4}}{\text{ dla }}\nu >4}$
Entropia	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\nu +1}{2}}\left[\psi ({\frac {1+\nu }{2}})-\psi ({\frac {\nu }{2}})\right]\\[0.5em]+\ln {\left[{\sqrt {\nu }}B({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}})\right]}\end{matrix}}}$ ${\displaystyle \psi {:}}$ funkcja digamma ${\displaystyle B{:}}$ funkcja beta
Funkcja tworząca momenty	(nieokreślona)
Odkrywca	William Sealy Gosset (1908)

Zobacz w Wikiźródłach tablicę rozkładu Studenta

Rozkład Studenta, rozkład t Studenta, rozkład t – ciągły rozkład prawdopodobieństwa stosowany często w statystyce w procedurach testowania hipotez statystycznych i przy ocenie niepewności pomiaru. Przy opracowaniu wyników pomiarów często powstaje zagadnienie oszacowania przedziału, w którym leży, z określonym prawdopodobieństwem, rzeczywista wartość mierzona, jeśli dysponujemy tylko wynikami n pomiarów, dla których możemy wyznaczyć takie parametry, jak średnia ${\displaystyle {\overline {X}}}$ i odchylenie standardowe ${\displaystyle s}$ lub wariancja ${\displaystyle s^{2}}$ („z próby”), nie znamy natomiast odchylenia standardowego ${\displaystyle \sigma }$ w populacji. Zagadnienie to rozwiązał w 1908 r. William Sealy Gosset (pseudonim Student) podając funkcję zależną od wyników pomiarów ${\displaystyle X_{i},}$ a niezależną od ${\displaystyle \sigma .}$

Definicja

Rozkład Studenta z ${\displaystyle n}$ stopniami swobody jest rozkładem zmiennej losowej ${\displaystyle T}$ postaci:

${\displaystyle T={\frac {U}{\sqrt {Z}}}{\sqrt {n}}}$

gdzie:

• ${\displaystyle U}$ jest zmienną losową mającą standardowy rozkład normalny ${\displaystyle N(0,1)}$
• ${\displaystyle Z}$ jest zmienną losową o rozkładzie chi kwadrat o ${\displaystyle n}$ stopniach swobody
• ${\displaystyle U}$ i ${\displaystyle Z}$ są niezależne.

Gęstość prawdopodobieństwa

Zmienna losowa ${\displaystyle T}$ określona powyżej ma gęstość prawdopodobieństwa opisaną wzorem:

${\displaystyle f(t,n)={\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}}){\sqrt {n\pi }}}}\left(1+{\frac {t^{2}}{n}}\right)^{-{\frac {n+1}{2}}}}$

gdzie ${\displaystyle \Gamma (x)}$ to funkcja gamma.

Dowód. Niech ${\displaystyle U}$ i ${\displaystyle Z}$ będą takie jak wyżej. Zmienna ${\displaystyle Y={\sqrt {Z}}}$ ma rozkład chi o ${\displaystyle n}$ stopniach swobody, a więc gęstość ${\displaystyle Y}$ wyraża się wzorem

${\displaystyle f_{Y}(y)={\frac {2^{1-{\frac {n}{2}}}y^{n-1}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}.}$

Rozważmy zmienną

${\displaystyle X={\frac {1}{\sqrt {n}}}Y.}$

Wówczas

${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial X}}={\sqrt {n}}}$

a zatem całkując przez podstawienie obserwujemy, że

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x)&=f_{Y}({\sqrt {n}}x){\Big |}{\frac {\partial Y}{\partial X}}{\Big |}\\&={\frac {2^{1-{\frac {n}{2}}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}({\sqrt {n}}x)^{n-1}e^{-{\frac {({\sqrt {n}}x)^{2}}{2}}}{\sqrt {n}}\\&={\frac {2^{1-{\frac {n}{2}}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}n^{\frac {n}{2}}x^{n-1}e^{-{\frac {n}{2}}x^{2}}.\end{aligned}}}$

Zmienna ${\displaystyle T}$ ma zatem rozkład ${\displaystyle U/X.}$ Jej gęstość jest więc postaci

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{T}(t)&=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|x|f_{U}(xt)f_{X}(x)\,\mathrm {d} x=\int \limits _{0}^{\infty }xf_{U}(xt)f_{X}(x)\,\mathrm {d} x\\&=\int \limits _{0}^{\infty }x{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {(xt)^{2}}{2}}}{\frac {2^{1-{\frac {n}{2}}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}n^{\frac {n}{2}}x^{n-1}e^{-{\frac {n}{2}}x^{2}}\,\mathrm {d} x\\&={\frac {n^{\frac {n}{2}}}{\sqrt {2\pi }}}{\frac {2^{1-{\frac {n}{2}}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\int \limits _{0}^{\infty }x^{n}e^{-{\frac {1}{2}}(n+t^{2})x^{2}}\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}}$

Niech ${\displaystyle m=x^{2}.}$ Wówczas powyższa całka przyjmuje postać

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }x^{n}e^{-{\frac {1}{2}}(n+t^{2})m}{\frac {\mathrm {d} m}{2x}}={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\infty }m^{\frac {n-1}{2}}e^{-{\frac {1}{2}}(n+t^{2})m}\mathrm {d} m\qquad (*).}$

Gęstość ${\displaystyle f(m;k,\theta )}$ rozkładu gamma wyraża się wzorem

${\displaystyle f(m;k,\theta )={\frac {m^{k-1}e^{-{\frac {m}{\theta }}}}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}.}$

Oznacza to, że

${\displaystyle k-1={\frac {n-1}{2}}\Rightarrow k^{*}={\frac {n+1}{2}},\qquad {\frac {1}{\theta }}={\frac {1}{2}}(n+t^{2})\Rightarrow \theta ^{*}={\frac {2}{(n+t^{2})}}}$

a stąd

${\displaystyle (*)={\frac {1}{2}}(\theta ^{*})^{k^{*}}\Gamma (k^{*})={\frac {1}{2}}{\Big (}{\frac {2}{n+t^{2}}}{\Big )}^{\frac {n+1}{2}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)=2^{\frac {n-1}{2}}n^{-{\frac {n+1}{2}}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\left(1+{\frac {t^{2}}{n}}\right)^{-{\frac {1}{2}}(n+1)}.}$

Ostatecznie

${\displaystyle f_{T}(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\frac {2^{1-{\frac {n}{2}}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}n^{\frac {n}{2}}2^{\frac {n-1}{2}}n^{-{\frac {n+1}{2}}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\left(1+{\frac {t^{2}}{n}}\right)^{-{\frac {1}{2}}(n+1)}={\frac {\Gamma [(n+1)/2]}{{\sqrt {n\pi }}\Gamma (n/2)}}\left(1+{\frac {t^{2}}{n}}\right)^{-{\frac {1}{2}}(n+1)}.}$

Własności

Powyższy wzór określa całą rodzinę rozkładów prawdopodobieństwa zależną od parametru ${\displaystyle n}$ – liczby stopni swobody rozkładu Studenta. Rozkłady te są symetryczne, jednomodalne, dla dużych wartości ${\displaystyle n}$ zmierzają do standardowego rozkładu normalnego ${\displaystyle N(0,1).}$ Dla małych ${\displaystyle n}$ różnią się jednak od rozkładu normalnego: rozkład Studenta o ${\displaystyle n}$ stopniach swobody ma skończone momenty tylko do rzędu ${\displaystyle n-1,}$ w szczególności dla ${\displaystyle n=1}$ rozkład Studenta jest identyczny z rozkładem Cauchy’ego i nie posiada żadnych skończonych momentów (nie istnieje nawet wartość średnia).

Własności te ilustruje poniższy wykres przedstawiający gęstości rozkładu Studenta dla kilku wartości liczby stopni swobody ${\displaystyle n}$ w zestawieniu z gęstością standardowego rozkładu normalnego ${\displaystyle N(0,1).}$

Zastosowania

Zastosowania rozkładu Studenta w metrologii i statystyce opierają się w większości na następujących dwóch twierdzeniach:

1. Niech zmienne losowe ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ mają jednakowy rozkład prawdopodobieństwa, który jest rozkładem normalnym o średniej ${\displaystyle m}$ i wariancji ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ oraz niech zmienna ${\displaystyle t}$ będzie określona wzorem:

   ${\displaystyle t={\frac {{\overline {X}}-m}{s}}\cdot {\sqrt {n}}}$

   gdzie ${\displaystyle {\overline {X}}}$ jest wartością średnią z próby, zaś ${\displaystyle s}$ – odchyleniem standardowym z próby.

   Wówczas zmienna ${\displaystyle t}$ ma rozkład Studenta o ${\displaystyle \nu =n-1}$ stopniach swobody (niezależny od wartości wariancji w populacji ${\displaystyle \sigma ^{2}}$).

2. Jeżeli dwie próby o liczebnościach ${\displaystyle n_{1}}$ oraz ${\displaystyle n_{2},}$ wartościach średnich ${\displaystyle {\overline {X}}_{1}}$ oraz ${\displaystyle {\overline {X}}_{2}}$ i wariancjach wyznaczonych z próby ${\displaystyle s_{1}^{2}}$ oraz ${\displaystyle s_{2}^{2}}$ zostały wylosowane z populacji mających taki sam rozkład normalny, to zmienna ${\displaystyle t}$ określona wzorem:

   ${\displaystyle t={\frac {{\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{2}}{\sqrt {n_{1}s_{1}^{2}+n_{2}s_{2}^{2}}}}{\sqrt {{\frac {n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}(n_{1}+n_{2}-2)}}}$

   ma rozkład Studenta o ${\displaystyle \nu =n_{1}+n_{2}-2}$ stopniach swobody.

Rozkład t jest stosowany w estymacji przedziałowej, w testach parametrycznych, w szczególności dla wartości średnich (test t Studenta, test t Welcha) i dla wariancji oraz w testach istotności parametrów statystycznych – zwłaszcza gdy mamy do czynienia z próbami małymi (najczęściej arbitralnie przyjmuje się, że próba jest mała gdy jej liczebność ${\displaystyle n\leqslant 30}$).

W metrologii rozkład Studenta wykorzystywany jest m.in. przy estymacji odchylenia standardowego (dla pojedynczego pomiaru oraz wartości oczekiwanej). Dla dużych prób (n > 30) praktycznie pokrywa się z rozkładem normalnym, dla mniejszych estymator odchylenia należy pomnożyć przez wartość krytyczną rozkładu Studenta dla liczby stopni swobody ${\displaystyle \nu =n-1}$ i przyjętego poziomu istotności ${\displaystyle \alpha .}$

Najczęściej potrzebne są w zastosowaniach kwantyle rozkładu Studenta, to znaczy takie wartości ${\displaystyle t_{\alpha },}$ że ${\displaystyle P(t>t_{\alpha })=\alpha }$ lub ${\displaystyle P(|t|<t_{\alpha })=\alpha .}$ Wartości te podają tablice rozkładu Studenta.

Bibliografia

• Zieliński R., Tablice statystyczne, PWN, Warszawa 1972.

Linki zewnętrzne

• VassarStats. vassarstats.net. [zarchiwizowane z tego adresu (2016-03-04)]. Wykresy gęstości, wartości krytyczne i in. obliczane dla podanej przez użytkownika liczby stopni swobody.
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S). [dostęp 2009-05-27]. (ang.). (O historii terminu „Rozkład Studenta”)
• Distribution Calculator Kalkulator obliczający prawdopodobieństwa i wartości krytyczne dla rozkładu normalnego, Studenta, chi-kwadrat oraz F
• Kalkulator rozkładu – polski kalkulator online szacujący wartość statystyki t Studenta dla zadanej liczby stopni swobody
• Tablice podstawowych rozkładów rachunku prawdopodobieństwa