Składowa jedynki

Składowa jedynki – dla danej grupy topologicznej ${\displaystyle G}$ składowa spójności ${\displaystyle G_{0}}$ zawierająca jedynkę grupy. Podobnie drogowa składowa jedynki grupy topologicznej ${\displaystyle G}$ jest drogowa składowa spójności grupy ${\displaystyle G}$ zawiera element neutralny grupy.

Własności

Składowa jedynki ${\displaystyle G_{0}}$ jest domkniętą podgrupą normalną grupy ${\displaystyle G.}$ Domkniętość wynika z faktu, iż składowe są zawsze domknięte. Jest ona podgrupą, ponieważ mnożenie i odwrotność są odwzorowaniami ciągłymi. Co więcej, dla każdego ciągłego automorfizmu ${\displaystyle a}$ grupy ${\displaystyle G}$ zachodzi

${\displaystyle a(G_{0})=G_{0},}$

skąd wynika, że normalność ${\displaystyle G_{0}}$ w grupie ${\displaystyle G.}$

Składowa spójności ${\displaystyle G_{0}}$ nie musi być zbiorem otwartym w ${\displaystyle G.}$ Istotnie, może być ${\displaystyle G_{0}=\{e\},}$ kiedy to ${\displaystyle G}$ jest całkowicie niespójna. Jednakże składowa jedynki przestrzeni lokalnie drogowo spójnej (na przykład grupy Liego) jest zawsze otwarta, ponieważ zawiera drogowo spójne otoczenie zbioru ${\displaystyle \{e\};}$ jest to więc zbiór otwarto-domknięty.

Drogowa składowa jedynki może być w ogólności mniejsza niż składowa jedynki (ponieważ drogowa spójność jest warunkiem silniejszym niż spójność), jednakże pokrywają się one, gdy ${\displaystyle G}$ jest lokalnie drogowo spójna.

Grupa składowych

Grupa ilorazowa ${\displaystyle G/G_{0}}$ nazywana jest grupą składowych grupy ${\displaystyle G.}$ Jej elementami są po prostu spójne składowe ${\displaystyle G.}$ Grupa składowych ${\displaystyle G/G_{0}}$ jest ona dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle G_{0}}$ jest otwarta. Jeżeli ${\displaystyle G}$ jest afiniczną grupą algebraiczną, to ${\displaystyle G/G_{0}}$ jest w istocie grupą skończoną.

Można podobnie zdefiniować drogową składową grupy jako grupę składowych drogowych (iloraz grupy przez drogową składową jedynki); w ogólności grupa składowych jest ilorazem grupy składowych drogowych, ale jeśli ${\displaystyle G}$ jest lokalnie drogowo spójna, to grupy te pokrywają się. Grupę składowych drogowych można scharakteryzować jako zerową grupę homotopii, ${\displaystyle \pi _{0}(G,e).}$

Przykłady

• Grupa niezerowych liczb rzeczywistych z mnożeniem ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{*},\cdot )}$ ma dwie składowe, przy czym grupą składowych jest ${\displaystyle {\bigl (}\{1,-1\},\cdot {\bigr )}.}$
• Niech dana będzie grupa elementów odwracalnych ${\displaystyle U}$ pierścienia liczb podwójnych. W zwyczajnej topologii płaszczyzny ${\displaystyle \{z=x+jy\colon x,y\in \mathbb {R} \}}$ grupa ${\displaystyle U}$ rozpada się na cztery składowe oddzielone prostymi ${\displaystyle y=x}$ oraz ${\displaystyle y=-x,}$ gdzie ${\displaystyle z}$ nie ma odwrotności. Wówczas ${\displaystyle U_{0}=\{z\colon |y|<x\}.}$ w tym przypadku grupa składowych ${\displaystyle U}$ jest izomorficzna z grupą czwórkową Kleina.

Bibliografia

• Lew Pontriagin, Topological Groups, 1966.