Standardowy parametr grawitacyjny

Standardowy parametr grawitacyjny dla ciał Układu Słonecznego
Ciało μ [m³ s−2]
Słońce 1,32712440018(9)×1020
Merkury 2,2032(9)×1013
Wenus 3,24859(9)×1014
Ziemia 3,986004418(8)×1014
Mars 4,282837(2)×1013
Ceres 6,26325×1010
Jowisz 1,26686534(9)×1017
Saturn 3,7931187(9)×1016
Uran 5,793939(9)×1015
Neptun 6,836529(9)×1015
Pluton 8,71(9)×1011
Eris 1,108(9)×1012

Standardowy parametr grawitacyjny μ {\displaystyle \mu } ciała niebieskiego – w mechanice nieba iloczyn stałej grawitacji G {\displaystyle G} oraz masy ciała M {\displaystyle M}

μ = G M . {\displaystyle \mu =GM.}

Jednostką w układzie SI standardowego parametru grawitacyjnego jest m3 s−2, jednak jednostki km3 s−2 są również często używane.

Definicja

Małe ciało obiegające ciało centralne

Ciało centralne w systemie orbitalnym może być zdefiniowane jako to, którego masa ( M ) {\displaystyle (M)} jest o wiele większa od masy satelity ( m ) → M ≫ m . {\displaystyle (m)\to M\gg m.} To przybliżenie jest standardem dla planet okrążających Słońce i większości księżyców oraz ułatwia niektóre równania. Z prawa powszechnego ciążenia, jeśli dystans pomiędzy dwoma ciałami oznaczymy jako r , {\displaystyle r,} siła wywierana na mniejsze ciało wynosi:

F = G M m r 2 = μ m r 2 . {\displaystyle F={\frac {GMm}{r^{2}}}={\frac {\mu m}{r^{2}}}.}

Stąd, by przewidzieć ruch mniejszego ciała, potrzeba jedynie wartości G {\displaystyle G} i M . {\displaystyle M.} Jednak wyznaczenie orbity tego ciała daje tylko wartość parametru μ , {\displaystyle \mu ,} nie oddzielnie M {\displaystyle M} i G . {\displaystyle G.} Stała grawitacji jest trudna do wyznaczenia precyzyjnie, podczas gdy orbity ciał, przynajmniej w Układzie Słonecznym, mogą być zmierzone z dużą dokładnością, co pozwala precyzyjnie wyznaczyć parametr μ . {\displaystyle \mu .}

Dla orbity kołowej:

μ = r v 2 = r 3 ω 2 = 4 π 2 r 3 T 2 , {\displaystyle \mu =rv^{2}=r^{3}\omega ^{2}={\frac {4\pi ^{2}r^{3}}{T^{2}}},}

gdzie:

r {\displaystyle r} – promień orbity,
v {\displaystyle v} – prędkość liniowa ciała orbitującego,
ω {\displaystyle \omega } – prędkość kątowa ciała orbitującego,
T {\displaystyle T} – okres orbitalny.

Dla orbit eliptycznych:

μ = 4 π 2 a 3 T 2 , {\displaystyle \mu ={\frac {4\pi ^{2}a^{3}}{T^{2}}},}

gdzie a {\displaystyle a} to półoś wielka orbity.

Dla trajektorii parabolicznych, r v 2 {\displaystyle rv^{2}} jest stałe i równe 2 μ , {\displaystyle 2\mu ,} a dla eliptycznych i hiperbolicznych orbit, μ = 2 a | ε | , {\displaystyle \mu =2a|\varepsilon |,} gdzie ε {\displaystyle \varepsilon } to energia orbitalna.