Szereg funkcyjny

Szereg funkcyjny – szereg, którego wyrazami są funkcje o wspólnej dziedzinie. Dla każdego punktu dziedziny suma szeregu wartości funkcji w tym punkcie (o ile istnieje) jest sumą zwykłego szeregu liczbowego. W zastosowaniach najczęściej pojawiają się szeregi funkcyjne zmiennej rzeczywistej lub zespolonej o wartościach rzeczywistych lub zespolonych, jednakże pojęcie szeregu funkcyjnego ma sens także w przypadku funkcji o wartościach w ogólnych przestrzeniach funkcyjnych (np. przestrzeniach Banacha).

Szeregi funkcyjne pojawiają się w naturalny sposób w analizie matematycznej i fizyce. Na przykład:

  • szeregi Fouriera są narzędziem w badaniu możliwości przedstawienia skomplikowanej funkcji (zwykle funkcji okresowej – w fizyce i technice – ruchu drgającego) przy pomocy szeregu prostszych funkcji okresowych typu sinus i cosinus – tzw. harmonik (zob. analiza harmoniczna);
  • szeregi Taylora służą do przedstawiania funkcji stosunkowo skomplikowanych przy pomocy szeregów o wyrazach będących wielomianami (czyli o dużo prostszej naturze) zależnych od kolejnych pochodnych (zob. wzór Taylora, analiza numeryczna);
  • szeregi Laurenta są narzędziem podobnym do szeregów Taylora, służącym do rozwijania funkcji zmiennej zespolonej w szeregi potęgowe o wykładnikach całkowitych. Rozkład funkcji w szereg Laurenta niesie dodatkowe informacje o regularności samej funkcji (zob. analiza zespolona).

Podstawowym przykładem szeregu funkcyjnego jest tzw. szereg geometryczny, czyli szereg postaci

∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + … {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\dots }

Jest on zbieżny dla każdego − 1 < x < 1 {\displaystyle -1<x<1} do (sumy):

1 1 − x . {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}.}

Jeżeli przyjąć f n ( x ) = x n {\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}} dla x {\displaystyle x} jak wyżej, to powyższy szereg można zapisać w postaci

∑ n = 0 ∞ f n ( x ) , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x),}

który jest już przykładem szeregu funkcyjnego.

Zbieżność

Niech Y {\displaystyle Y} będzie przestrzenią unormowaną oraz ( f n ) {\displaystyle (f_{n})} będzie ciągiem funkcji określonych na pewnym zbiorze X {\displaystyle X} i o wartościach w przestrzeni Y . {\displaystyle Y.}

Zbieżność punktowa

 Osobny artykuł: zbieżność punktowa.

Mówi się, że szereg ∑ f n ( x ) {\displaystyle \sum f_{n}(x)} jest zbieżny punktowo w zbiorze X , {\displaystyle X,} gdy dla każdego x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} zbieżny jest szereg ∑ f n ( x 0 ) . {\displaystyle \sum f_{n}(x_{0}).} Innymi słowy wymaga się, by zbieżny był ciąg ( s N ) N ∈ N {\displaystyle (s_{N})_{N\in \mathbb {N} }} sum częściowych s N = f 1 ( x 0 ) + ⋯ + f N ( x 0 ) . {\displaystyle s_{N}=f_{1}(x_{0})+\dots +f_{N}(x_{0}).} Określoną w ten sposób funkcję f ( x ) = ∑ f n ( x ) {\displaystyle f(x)=\sum f_{n}(x)} nazywa się sumą szeregu funkcyjnego ∑ f n ( x ) . {\displaystyle \sum f_{n}(x).}

Zbieżność jednostajna

 Osobny artykuł: zbieżność jednostajna.

Szereg ∑ f n ( x ) {\displaystyle \sum f_{n}(x)} jest zbieżny jednostajnie wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg ( s N ) N ∈ N {\displaystyle (s_{N})_{N\in \mathbb {N} }} sum częściowych s N = f 1 + ⋯ + f N {\displaystyle s_{N}=f_{1}+\dots +f_{N}} jest zbieżny jednostajnie jako ciąg funkcyjny.

Dokładniej, szereg ∑ f n ( x ) {\displaystyle \sum f_{n}(x)} jest zbieżny jednostajnie w zbiorze X {\displaystyle X} do funkcji f ( x ) , {\displaystyle f(x),} gdy od pewnego wyrazu norma sumy częściowej szeregu ∑ ( f n ( x ) − f ( x ) ) {\displaystyle \sum {\big (}f_{n}(x)-f(x){\big )}} jest dowolnie mała dla wszystkich x ∈ X , {\displaystyle x\in X,} tzn. gdy dla dowolnej liczby ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} istnieje taka liczba naturalna n ε , {\displaystyle n_{\varepsilon },} że dla wszystkich k > n ε {\displaystyle k>n_{\varepsilon }} i dla wszystkich x ∈ X {\displaystyle x\in X} zachodzi nierówność

‖ ( ∑ n = 1 k f n ( x ) ) − f ( x ) ‖ < ε . {\displaystyle \left\|\left(\sum _{n=1}^{k}f_{n}(x)\right)-f(x)\right\|<\varepsilon .}

Do kryteriów zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych zaliczają się

Własności sumy szeregu zbieżnego jednostajnie – twierdzenie Weierstrassa

Niech dany będzie szereg funkcyjny ∑ n = 1 ∞ f n ( x ) {\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)} zbieżny jednostajnie w przedziale ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} do funkcji f . {\displaystyle f.} Wówczas:

  • jeżeli wszystkie wyrazy ciągu ( f n ) {\displaystyle (f_{n})} są ciągłe, to jego suma f {\displaystyle f} też jest funkcją ciągłą;
  • jeżeli ( f n ) {\displaystyle (f_{n})} jest ciągiem funkcji różniczkowalnych mającym w tym przedziale ciągłe pochodne oraz szereg ∑ n = 1 ∞ f n ′ ( x ) {\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}'(x)} jest zbieżny jednostajnie, to funkcja f {\displaystyle f} jest różniczkowalna oraz
f ′ ( x ) = ∑ n = 1 ∞ f n ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}'(x)}
dla x ∈ ( a , b ) . {\displaystyle x\in (a,b).}
  • jeżeli ponadto wyrazy ciągu ( f n ) {\displaystyle (f_{n})} są funkcjami ciągłymi, określonymi w przedziale [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} oraz szereg ∑ n = 1 ∞ f n ( x ) {\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)} jest zbieżny jednostajnie w tym przedziale, to
∫ a b f ( x ) d x = ∫ a b ∑ n = 1 ∞ f n ( x ) d x = ∑ n = 1 ∞ ∫ a b f n ( x ) d x . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,{\mbox{d}}x=\int _{a}^{b}\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)\,{\mbox{d}}x=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)\,{\mbox{d}}x.}
Przykład

Szereg

1 + x + x 2 + x 3 + … {\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+\dots }

jest zbieżny punktowo do funkcji f ( x ) = 1 1 − x {\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{1-x}}} w przedziale ( − 1 , 1 ) , {\displaystyle (-1,1),} jednak nie jest zbieżny jednostajnie; mimo to suma szeregu jest funkcją różniczkowalną (a zatem i ciągłą) w zadanym przedziale.

Bibliografia