Szybkość ścinania

Szybkość ścinania (ang. shear rate) – kinematyczny parametr skalarny lub tensorowy stosowany w mechanice płynów, wyrażający granicę stosunku różnicy prędkości między sąsiadującymi ze sobą warstwami płynu do odległości między nimi.

Tensor szybkości ścinania

W szybkość ścinania zdefiniowana jest przez tensor szybkości ścinania oznaczany zwykle przez ${\displaystyle D_{ik}}$ i zdefiniowany w sposób:

${\displaystyle D_{ik}\;{\stackrel {\mathrm {df} }{=}}\;{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial v_{k}}{\partial x_{i}}}\right),}$

gdzie:

${\displaystyle v_{i}}$ – wektor prędkości,

${\displaystyle x_{k}}$ – wektor położenia.

Czasami zamiast tensora ${\displaystyle D_{ik}}$ stosuje się tensor ${\displaystyle A_{ik}{:}}$

${\displaystyle A_{ik}\;{\stackrel {\mathrm {df} }{=}}\;{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial v_{k}}{\partial x_{i}}}.}$

Zarówno tensor ${\displaystyle D_{ik},}$ jak i ${\displaystyle A_{ik}}$ rozumie się jako zmienne w czasie pola tensorowe, zależne od wektora położenia ${\displaystyle x_{j},}$ jak i czasu ${\displaystyle t.}$

Rozumiana w ten sposób szybkość ścinania jest wielkością tensorową reprezentowaną przez symetryczny tensor drugiego rzędu. Tak zdefiniowana szybkość ścinania jest niezmiennicza względem obrotów układu współrzędnych.

Szybkość ścinania jako wielkość skalarna

Szybkość ścinania jest też traktowana jako wielkość skalarna. Jej definicję wyraża się poprzez tzw. drugi niezmiennik ${\displaystyle I_{2}}$ symetrycznego tensora szybkości ścinania ${\displaystyle D_{ik},}$ zdefiniowany w sposób:

${\displaystyle I_{2}(D_{ik})\;{\stackrel {\mathrm {df} }{=}}\;{\frac {1}{2}}\,D_{ik}D_{ki}.}$

Skalarna szybkość ścinania ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$ jest pierwiastkiem kwadratowym z czterokrotnej wartości drugiego niezmiennika tensora szybkości ścinania:

${\displaystyle {\dot {\gamma }}\;{\stackrel {\mathrm {df} }{=}}\;{\sqrt {4\,I_{2}(D_{ik})}}.}$

Tak rozumiana definicja szybkości ścinania jako parametru skalarnego stanowi ścisłą wersję popularnej definicji tego pojęcia. Wersja ścisła definicji charakteryzuje się wysokim poziomem abstrakcji i jest niezrozumiała dla zwykłego odbiorcy. Dlatego też w literaturze spotyka się często popularną definicję szybkości ścinania, podawaną często z błędami, zwłaszcza w polskiej literaturze naukowej.

Popularna definicja szybkości ścinania

Jeśli kierunek osi ${\displaystyle y}$ prostokątnego układu współrzędnych jest zgodny z płaszczyzną przesuwających się względem siebie warstw płynu, a kierunek osi ${\displaystyle z}$ jest prostopadły do nich, wówczas szybkość ścinania ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$ określić można jako pochodną składowej ${\displaystyle y}$ wektora prędkości płynu ${\displaystyle v}$ względem kierunku prostopadłego ${\displaystyle z}$ z pominięciem fragmentu wartości tej pochodnej związanego z istnieniem prędkości kątowej ruchu płynu ${\displaystyle \omega {:}}$

${\displaystyle {\dot {\gamma }}={\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}-\omega .}$

W przypadku, gdy przepływ płynu nie ma charakteru ruchu obrotowego (tj. gdy ruch płynu jest czysto postępowy), wówczas prędkość kątowa w powyższym wzorze na szybkość ścinania może być pominięta i redukuje się on do postaci:

${\displaystyle {\dot {\gamma }}={\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}.}$

Jednakże pominięcie prędkości kątowej w uprzednio podanym ogólnym wzorze definicyjnym (spotykane zresztą często w polskiej literaturze naukowej), jest błędem merytorycznym wynikającym z niezrozumienia przez pomijającego istoty pojęcia szybkości ścinania. Pojęcie to związane jest bowiem z kinematyczną względną różnicą prędkości między sąsiadującymi ze sobą warstwami płynu. Natomiast w przypadku ruchu obrotowego niezerowa wartość pochodnej przestrzennej prędkości powstaje zawsze w przypadku sztywnego obrotu całego układu fizycznego względem przyjętego układu współrzędnych przestrzennych, jak to ma na przykład miejsce przy sztywnym obrocie wypełnionej płynem szklanki wokół jej osi. Powstająca w taki sposób przestrzenna pochodna prędkości nie ma nic wspólnego z różnicą prędkości między sąsiadującymi ze sobą warstwami płynu. Dlatego też efekt ten musi być uwzględniony we wzorze definicyjnym i wyraża się on poprzez wprowadzenie prędkości kątowej.

Jednostki

W układzie SI jednostką szybkości ścinania jest w 1/s (odwrotność sekundy). W układzie CGS jednostka szybkości ścinania była taka sama.

Zastosowania

Szybkość ścinania jest jednym z fundamentalnych pojęć stosowanych w mechanice płynów rzeczywistych. Używa się jej we współczesnej wersji hydrodynamicznego prawa Newtona wyrażającego związek między naprężeniami w płynie i występującą w czasie jego ruchu szybkością ścinania.

Inne informacje

W literaturze spotkać można błędne definicje szybkości ścinania. Ponadto szybkość ścinania mylona jest z gradientem prędkości. Są to jednak pojęcia o wyraźnie różniących się konotacjach i nie powinny być one nigdy traktowane jako synonimy.

Zobacz też

• gradient prędkości
• hydrodynamiczne prawo Newtona
• lepkość

Literatura

1. Aris R.: Vectors, Tensors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, (1965).
2. Batchelor G.K.: Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge.
3. Flügge S. (Herausgegeber), Truesdell C. (Mitherausgegeber): Hadbuch der Physik, Bd. III/1 The Clasical Theory of Field, Bd. III/3 The Non-Linear Flield Theories of Mechanics, Bd. VIII/1: Strömungmechanik I, Bd. VIII/2: Strömungmechanik II, Bd. VIII/3: Strömungmechanik III, Springer, Berlin – Heidelberg – Göttingen – New York.